Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，），與x軸相交于B，C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線(xiàn)BD翻折得到△BC′D，若點(diǎn)C′恰好落在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，求點(diǎn)C′和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)Q，連接BQ，DQ，在拋物線(xiàn)上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，且S△PBD＝S△BDQ，求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；

（2）設(shè)對(duì)稱(chēng)軸于BC的交點(diǎn)為E，先求出點(diǎn)C，點(diǎn)E坐標(biāo)，可求BC=4，BE=CE=2，由折疊的性質(zhì)可得BC'的長(zhǎng)，由勾股定理可求C'E，DE的長(zhǎng)，即可求解；

（3）分兩種情況討論，利用等底等高的兩個(gè)三角形的面積相等，可求解．

（1）將A（﹣2，），B（-1，0）代入y＝ax2+bx﹣中，

可得，

∴，

∴；

（2）如圖，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸于BC的交點(diǎn)為E，

∵與x軸交于A，B兩點(diǎn)，

∴；

∴x1=-1，x2=3，

∴點(diǎn)C（3，0），

∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，

∴BE=CE=2，BC=4，

∵點(diǎn)D在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，

∴BD=CD，

∵將△BCD沿直線(xiàn)BD翻折得到△BC′D，

∴BC=BC'=4，CD=C'D，

∴BD=C'D，

∴，

∴

∵BD2=DE2+BE2，

∴，

∴，

∴點(diǎn)；

（3）如圖，設(shè)BD交y軸于點(diǎn)F，

∵點(diǎn)B（-1，0），點(diǎn)，

∴直線(xiàn)BD解析式為：，

∴點(diǎn)，

∵拋物線(xiàn)的解析式為：與y軸交于點(diǎn)Q，

∴點(diǎn)，

∴，

若點(diǎn)Q，點(diǎn)P在BD的同側(cè)時(shí)，

∵S△PBD=S△BDQ，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q到直線(xiàn)BD的距離相等，即PQ∥BD，

∴直線(xiàn)PQ解析式為：，

∴，

∴x=0，，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為；

若點(diǎn)P與點(diǎn)Q在BD的兩側(cè)時(shí)，

∵S△PBD=S△BDQ，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q到直線(xiàn)BD的距離相等，

∵點(diǎn)，點(diǎn)，

∴，

在y軸上截取HF=FQ，過(guò)點(diǎn)H作BD的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P'和P'，

∴，

∴點(diǎn)H坐標(biāo)，

∴直線(xiàn)HP'解析式為：，

∴，

∴，

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或或時(shí)，S△PBD=S△BDQ．