Question

【題目】如圖1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分線(xiàn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓交AE于點(diǎn)G．

（1）求證：直線(xiàn)PE是⊙O的切線(xiàn)；

（2）在圖2中，設(shè)PE與⊙O相切于點(diǎn)H，連結(jié)AH，點(diǎn)D是⊙O的劣弧上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)，交PA于點(diǎn)B，交PE于點(diǎn)C，已知△PBC的周長(zhǎng)為4，tan∠EAH=，求EH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）作OH⊥PE，由PO是∠APE的角平分線(xiàn)，得到∠APO=∠EPO，判斷出△PAO≌△PHO，得到OH=OA，用“圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑”來(lái)得出直線(xiàn)PE是⊙O的切線(xiàn)；

（2）先利用切線(xiàn)的性質(zhì)和△PBC的周長(zhǎng)為4求出PA=2，再用三角函數(shù)求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG，AE=2EH，用勾股定理求出EG，最后用切割線(xiàn)定理即可．

試題解析：（1）如圖1，作OH⊥PE，∴∠OHP=90°，∵∠PAE=90，∴∠OHP=∠OAP，∵PO是∠APE的角平分線(xiàn)，∴∠APO=∠EPO，在△PAO和△PHO中，∵∠OHP=∠OAP，∠OPH=∠OPA，OP=OP，∴△PAO≌△PHO，∴OH=OA，∵OA是⊙O的半徑，∴OH是⊙O的半徑，∵OH⊥PE，∴直線(xiàn)PE是⊙O的切線(xiàn)．

（2）如圖2，連接GH，∵BC，PA，PB是⊙O的切線(xiàn)，∴DB=DA，DC=CH，∵△PBC的周長(zhǎng)為4，∴PB+PC+BC=4，∴PB+PC+DB+DC=4，∴PB+AB+PC+CH=4，∴PA+PH=4，∵PA，PH是⊙O的切線(xiàn)，∴PA=PH，∴PA=2，由（1）得，△PAO≌△PHO，∴∠OFA=90°，∴∠EAH+∠AOP=90°，∵∠OAP=90°，∴∠AOP+∠APO=90°，∴∠APO=∠EAH，∵tan∠EAH=，∴tan∠APO==，∴OA=PA=1，∴AG=2，∵∠AHG=90°，∵tan∠EAH==，∵△EGH∽△EHA，∴==，∴EH=2EG，AE=2EH，∴AE=4EG，∵AE=EG+AG，∴EG+AG=4EG，∴EG=AG=，∵EH是⊙O的切線(xiàn)，EGA是⊙O的割線(xiàn)，∴=EG×EA=EG×（EG+AG）==，∴EH=．