Question

【題目】如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，（點(diǎn)C不與A、B重合），分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE、BD交于點(diǎn)P．

（觀察猜想）

①AE與BD的數(shù)量關(guān)系是　 　；

②∠APD的度數(shù)為　 　．

（數(shù)學(xué)思考）

如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，（1）中的結(jié)論①、②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明；

（拓展應(yīng)用）

如圖3，點(diǎn)E為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P，AC＝10，則四邊形ABCD的面積為　 　．

Answer 1

【答案】【觀察猜想】：①AE＝BD．②∠APD＝60°．理由見解析；【數(shù)學(xué)思考】：結(jié)論仍然成立，證明見解析；【拓展應(yīng)用】：50.

【解析】

觀察猜想：證明△ACE≌△DCB（SAS），可得AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，由∠AOC＝∠DOP，推出∠DPO＝∠ACO＝60°；

數(shù)學(xué)思考：結(jié)論成立，證明方法類似；

拓展應(yīng)用：證明AC⊥BD，可得S四邊形ABCD＝ACDP+ACPB＝AC（DP+PB）＝ACBD．

觀察猜想：結(jié)論：AE＝BD．∠APD＝60°．

理由：設(shè)AE交CD于點(diǎn)O．

∵△ADC，△ECB都是等邊三角形，

∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，

∴∠ACE＝∠DCB，

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，

∵∠AOC＝∠DOP，

∴∠DPO＝∠ACO＝60°，

即∠APD＝60°．

故答案為AE＝BD，60°．

數(shù)學(xué)思考：結(jié)論仍然成立．

理由：設(shè)AC交BD于點(diǎn)O．

∵△ADC，△ECB都是等邊三角形，

∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，

∴∠ACE＝∠DCB

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，

∵∠AOP＝∠DOC，

∴∠APO＝∠DCO＝60°，

即∠APD＝60°．

拓展應(yīng)用：

設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．

∵△ADE，△ECB都是等腰直角三角形，

∴ED＝EA，∠AED＝∠BEC＝90°，CE＝EB，

∴∠AEC＝∠DEB

∴△AEC≌△DEB（SAS），

∴AC＝BD＝10，∠PBO＝∠OCE，

∵∠BOP＝∠EOC，

∴∠BPO＝∠CEO＝90°，

∴AC⊥BD，

∴S四邊形ABCD＝ACDP+ACPB＝AC（DP+PB）＝ACBD＝50．

故答案為：50．