Question

【題目】如圖，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD．點(diǎn) P 為底邊 BC 的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，PE⊥AB 于 E，PF⊥DC 于 F，BM⊥DC 于 M．請(qǐng)你探究線段 PE、PF、BM 之間的數(shù)量關(guān)系：

______．

Answer 1

【答案】PE－PF=BM.

【解析】

過點(diǎn)B作BH∥CD，交PF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，易證四邊形BMFH是平行四邊形，于是有FH=BM，再用AAS證明△PBE≌△PBH，可得PH=PE，繼而得到結(jié)論.

解：PE－PF=BM. 理由如下：

過點(diǎn)B作BH∥CD，交PF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖

∴∠PBH=∠DCB，

∵PF⊥CD，BM⊥CD，

∴BM∥FH，PH⊥BH，

∴四邊形BMFH是平行四邊形，∠H=90°，

∴FH=BM，

∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，

∴∠ABC=∠DCB，

∴∠ABC=∠PBH，

∵PE⊥AB，

∴∠PEB=∠H=90°，又PB為公共邊，

∴△PBE≌△PBH（AAS），

∴PH=PE，

∴PE=PF+FH=PF+BM．

即PE－PF=BM.