Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線．

（2）求DE的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）4.

【解析】試題分析：（1）連結(jié)OD，由AD平分∠BAC,OA=OD，可證得∠ODA=∠DAE,由平行線的性質(zhì)可得OD∥AE,再由DE⊥AC即可得OE⊥DE，即DE是⊙O的切線；（2）過點O作OF⊥AC于點F，由垂徑定理可得AF=CF=3，再由勾股定理求得OF=4，再判定四邊形OFED是矩形，即可得DE=OF=4.

試題解析：

（1）連結(jié)OD，

∵AD平分∠BAC,

∴∠DAE=∠DAB，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠DAO,

∴∠ODA=∠DAE,

∴OD∥AE,

∵DE⊥AC

∴OE⊥DE

∴DE是⊙O的切線；

（2）過點O作OF⊥AC于點F，

∴AF=CF=3，

∴OF=,

∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，

∴四邊形OFED是矩形，

∴DE=OF=4.