Question

【題目】如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)、.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，求面積的最大值并求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)的直線交直線于點(diǎn)，連接，當(dāng)直線與直線的一個夾角等于的3倍時，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2），點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，

【解析】

（1）利用B（5，0）用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

（2）作PQ∥y軸交BC于Q，根據(jù)求解即可；

（3）作∠CAN=∠NAM1=∠ACB，則∠A M1B=3∠ACB, 則 NAM1∽ A C M1,通過相似的性質(zhì)來求點(diǎn)M1的坐標(biāo)；作AD⊥BC于D,作M1關(guān)于AD的對稱點(diǎn)M2, 則∠A M2C=3∠ACB,根據(jù)對稱點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)可求M2的坐標(biāo).

（1）把代入得

.

∴；

（2）作PQ∥y軸交BC于Q，設(shè)點(diǎn)，則

∵

∴OB=5，

∵Q在BC上，

∴Q的坐標(biāo)為（x，x-5），

∴PQ==，

∴

=

=

∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為.

（3）如圖1，作∠CAN=∠NAM1=∠ACB，則∠A M1B=3∠ACB,

∵∠CAN=∠NAM1,

∴AN=CN,

∵=-(x-1)(x-5),

∴A的坐標(biāo)為（1，0），C的坐標(biāo)為（0，-5），

設(shè)N的坐標(biāo)為（a,a-5），則

∴，

∴a= ,

∴N的坐標(biāo)為（,）,

∴AN2==，AC2=26，

∴，

∵∠NAM1=∠ACB，∠N M1A=∠C M1A，

∴ NAM1∽ A C M1,

∴,

∴,

設(shè)M1的坐標(biāo)為（b,b-5），則

∴,

∴b1= ，b2=6(不合題意，舍去)，

∴M1的坐標(biāo)為，

如圖2，作AD⊥BC于D,作M1關(guān)于AD的對稱點(diǎn)M2, 則∠A M2C=3∠ACB,

易知ADB是等腰直角三角形，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，-2），

∴M2 橫坐標(biāo)= ，

M2 縱坐標(biāo)= ，

∴M2 的坐標(biāo)是，

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)是或.