【題目】如圖1.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為AB上一點,連接CD,將CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至CE,連接AE.
(1)連接ED,若CD=3,AE=4,求AB的長;
(2)如圖2,若點F為AD的中點,連接EB、CF,求證:CF⊥EB.
【答案】(1)AB=;(2)證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得出△BCD≌△ACE,進而得到AE=BD=4,∠CAE=∠B=45°=∠CAB,∠EAD=90°,再根據(jù)CD2+EC2=DE2=AE2+AD2,即可得到AD的長,進而求出AB的長;
(2)如圖2,過C作CG⊥AB于G,則AG=BG,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得,,再根據(jù)點F是AD的中點,可得到,再根據(jù),∠CGF=∠BAE=90°,即可判定△CGF∽△BAE,進而得到∠FCG=∠ABE,依據(jù)∠ABE+∠CFG=90°,可得CF⊥BE.
(1)如圖1,由旋轉(zhuǎn)可得:EC=DC=3,∠ECD=90°=∠ACB,
∴∠BCD=∠ACE,
又∵AC=BC,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴AE=BD=4,∠CAE=∠B=45°=∠CAB,
∴∠EAD=90°,
∴DE==3,
∴AD===,
∴AB=AD+BD= +4.
(2)如圖2,過C作CG⊥AB于G,則AG=AB,
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴CG=AB,即.
∵點F為AD的中點,
∴FA=AD,
∴FG=AG﹣AF=AB﹣AD=(AB﹣AD)=BD,
由(1)可得:BD=AE,
∴FG=AE,即,
∴,
又∵∠CGF=∠BAE=90°,
∴△CGF∽△BAE,
∴∠FCG=∠ABE.
∵∠FCG+∠CFG=90°,
∴∠ABE+∠CFG=90°,
∴CF⊥BE.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D、E、F分別為AB、BC、AC的中點,則下列結(jié)論:①△ADF≌△FEC;②四邊形ADEF為菱形;③。其中正確的結(jié)論是____________.(填寫所有正確結(jié)論的序號)
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【題目】九年級數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查,得到某種運動服每月的銷量是售價的一次函數(shù),且相關(guān)信息如下表:
售價(元/件) | 100 | 110 | 120 | 130 | … |
月銷量(件) | 200 | 180 | 160 | 140 | … |
已知該運動服的進價為每件60元,設(shè)售價為x元.
(1)請用含x的式子表示:①銷售該運動服每件的利潤是( )元;
(2)求月銷量y與售價x的一次函數(shù)關(guān)系式:
(3)設(shè)銷售該運動服的月利潤為W元,那么售價為多少元時,當(dāng)月的利潤最大?最大利潤是多少元?
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【題目】某商店購進600個旅游紀念品,進價為每個6元,第一周以每個10元的價格售出200個,第二周若按每個10元的價格銷售仍可售出200個,但商店為了適當(dāng)增加銷量,決定降價銷售(根據(jù)市場調(diào)查,單價每降低1元,可多售出50個,但售價不得低于進價),單價降低x元銷售銷售一周后,商店對剩余旅游紀念品清倉處理,以每個4元的價格全部售出,如果這批旅游紀念品共獲利1250元,問第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元?
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【題目】如圖,旗桿及升旗臺的剖面和教學(xué)樓的剖面在同一平面上,旗桿與地面垂直,在教學(xué)樓底部E點處測得旗桿頂端的仰角∠AED=58°,升旗臺底部到教學(xué)樓底部的距離DE=7米,升旗臺坡面CD的坡度i=1:0.75,坡長CD=2米,若旗桿底部到坡面CD的水平距離BC=1米,求旗桿AB的高度約為多少?(保留一位小數(shù),參考數(shù)據(jù):sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.6)
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【題目】某超市銷售一種文具,進價為5元/件.售價為6元/件時,當(dāng)天的銷售量為100件.在銷售過程中發(fā)現(xiàn):售價每上漲0.5元,當(dāng)天的銷售量就減少5件.設(shè)當(dāng)天銷售單價統(tǒng)一為元/件(,且是按0.5元的倍數(shù)上漲),當(dāng)天銷售利潤為元.
(1)求與的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(2)要使當(dāng)天銷售利潤不低于240元,求當(dāng)天銷售單價所在的范圍;
(3)若每件文具的利潤不超過,要想當(dāng)天獲得利潤最大,每件文具售價為多少元?并求出最大利潤.
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【題目】如圖,的兩直角邊,分別在軸的負半軸和軸的正半軸上,為坐標原點,,兩點的坐標分別為、,拋物線經(jīng)過點,且頂點在直線上.
(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若是由沿軸向右平移得到的,當(dāng)四邊形是菱形時,試判斷點和點是否在該拋物線上,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,若點是所在直線下方拋物線上的一個動點,過點作平行于軸交于.設(shè)點的橫坐標為,的長度為.求與之間的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量的取值范圍,并求取最大值時,點的坐標.
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【題目】拋物線交軸于,兩點(點在點的左邊),交軸正半軸于點.
(1)如圖1,當(dāng)時.
①直接寫出點,,的坐標;
②若拋物線上有一點,使,求點的坐標.
(2)如圖2,平移直線交拋物線于,兩點,直線與直線交于點,若點在定直線上運動,求的值.
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【題目】在△ABC中,,BE是AC邊上的中線,點D在射線BC上.
(1)如圖1,點D在BC邊上,,AD與BE相交于點P,過點A作,交BE的延長線于點F,易得的值為 ;
(2)如圖2,在△ABC中,,點D在BC的延長線上,AD與AC邊上的中線BE的延長線交于點P,,求的值;
(3)在(2)的條件下,若CD=2,AC=6,則BP= .
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