Question

如圖，矩形A′BC′O′是矩形OABC（邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上）繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，O′點(diǎn)在x軸的正半軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）．
（1）如果二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過O，O′兩點(diǎn)且圖象頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-1，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）在（1）中求出的二次函數(shù)圖象對稱軸的右支上是否存在點(diǎn)P，使得△POM為直角三角形？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和△POM的面積；若不存在，請說明理由；
（3）求邊C′O′所在直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）連接BO，BO′則BO=BO′，求出O′，M點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程組求出未知數(shù)的值，進(jìn)而求出二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P（x，y）連接OM，PM，OP，過P作PN⊥x軸，求出P點(diǎn)坐標(biāo)和△POM的面積．
（3）已知O′（2，0），點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，由相似關(guān)系求其縱坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求解析式．

解答：解：（1）連接BO，BO′，則BO=BO′
∵BA⊥OO′
∴AO=AO′
∵B（1，3）
∴O′（2，0），M（1，-1），
∴

4a+2b+c=0 a+b+c=-1 c=0

，
解得a=1，b=-2，c=0，
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x．

（2）設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P（x，y），
連接OM，PM，OP，當(dāng)∠POM=90°時(shí)，
過P作PN⊥x軸于N，∵M(jìn)（1，-1），A（1，0），|AM|=|OA|
∴∠MOA=45°
∴∠PON=45°，
∴|ON|=|NP|即x=y
∵P（x，y）在二次函數(shù)y=x²-2x的圖象上
∴x=x²-2x
解得x=0或x=3
∵P（x，y）在對稱軸的右支上
∴x＞1
∴x=3，y=3即P（3，3）是所求的點(diǎn)．
連接MO′，顯然△OMO′為等腰直角三角形，
顯然∠POM不能為90°，
故當(dāng)點(diǎn)P在O'位置時(shí)，滿足條件，點(diǎn)O′坐標(biāo)為（2，0），
即此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）；
∴滿足條件的點(diǎn)是P（2，0）或P（3，3），
∴OP=2或OP=3

2

，OM=

2

∴S_△POM=

1

2

OP•OM=3或S_△POM=

1

2

OM•O′M=1；

（3）設(shè)AB與C′O′的交點(diǎn)為D（1，y）
顯然Rt△ADO′≌Rt△C′DB，
在Rt△ADO′中，AO′²+AD²=O′D²
即1+y²=（3-y）²
解得y=

4

3

∴D（1，

4

3

），
設(shè)邊C'O'所在直線的解析式為y=kx+b則

k+b= 4 3 2k+b=0

，
解得k=-

4

3

，b=

8

3

，
∴所求直線解析式為y=-

4

3

x+

8

3

．

點(diǎn)評：此題很復(fù)雜，結(jié)合了二次函數(shù)，一次函數(shù)及圖形的幾何變換，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，結(jié)合直角三角形及全等三角形的性質(zhì)解答，難度較大．