【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=4,PCD邊上的動點(P點不與C、D重合),過點P作直線與BC的延長線交于點E,與AD交于點F,且CP=CE,連接DE、BP、BF,設CP=x,PBF的面積為S1PDE的面積為S2

(1)求證:BPDE;

(2)求S1﹣S2關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出x的取值范圍;

(3)當∠PBF=30°時,求S1﹣S2的值.

【答案】(1)見解析;(2)S1﹣S2=8﹣2x(0x4);(3)S1﹣S2=8﹣2x=8﹣.

【解析】

(1)如圖1中,延長BPDEM.只要證明△BCP≌△DCE,推出∠BCP=∠CDE,由∠CBP+∠CPB=90°,∠CPB=∠DPM,即可推出∠CDE+∠DPM=90°,延長即可解決問題;

(2)根據(jù)S1-S2=SPBF-SPDE計算即可解決問題;

(3)先求出PC的長,再利用(2)中結(jié)論計算即可;

(1)如圖1中,延長BPDEM.

∵四邊形ABCD是正方形,

CB=CD,BCP=DCE=90°,

CP=CE,

∴△BCP≌△DCE,

∴∠BCP=CDE,

∵∠CBP+CPB=90°,CPB=DPM,

∴∠CDE+DPM=90°,

∴∠DMP=90°,

BPDE.

(2)由題意S1﹣S2=[16﹣2x﹣2x﹣(4﹣x)2]﹣(4﹣x)x

=8﹣2x(0<x<4).

(3)如圖2中,

∵∠PBF=30°,

CP=CE,DCE=90°,

∴∠CPE=CEP=DPF=45°,FDP=90°,

∴∠PFD=DPF=45°,

DF=DP,AD=CD,

AF=PC,AB=BC,A=BCP=90°,

∴△BAF≌△BCP,

∴∠ABF=CBP=30°,

x=PC=BCtan30°=,

S1﹣S2=8﹣2x=8﹣

練習冊系列答案
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