【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點P是弦AC上一動點(不與A,C重合),過點P作PE⊥AB,垂足為E,射線EP交 于點F,交過點C的切線于點D.

(1)求證:DC=DP;
(2)若∠CAB=30°,當(dāng)F是 的中點時,判斷以A,O,C,F(xiàn)為頂點的四邊形是什么特殊四邊形?說明理由.

【答案】
(1)

證明:

連接BC、OC,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠OCD=90°,

∴∠OCA+∠OCB=90°,

∵∠OCA=∠OAC,∠B=∠OCB,

∴∠OAC+∠B=90°,

∵CD為切線,

∴∠OCD=90°,

∴∠OCA+∠ACD=90°,

∴∠B=∠ACD,

∵PE⊥AB,

∴∠APE=∠DPC=∠B,

∴∠DPC=∠ACD,

∴AP=DC;


(2)

解:以A,O,C,F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形;

∵∠CAB=30°,∴∠B=60°,

∴△OBC為等邊三角形,

∴∠AOC=120°,

連接OF,AF,

∵F是 的中點,

∴∠AOF=∠COF=60°,

∴△AOF與△COF均為等邊三角形,

∴AF=AO=OC=CF,

∴四邊形OACF為菱形.


【解析】本題主要考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理和等邊三角形的判定等,作出恰當(dāng)?shù)妮o助線利用切線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.(1)連接BC、OC,利用圓周角定理和切線的性質(zhì)可得∠B=∠ACD,由PE⊥AB,易得∠APE=∠DPC=∠B,等量代換可得∠DPC=∠ACD,可證得結(jié)論;(2)由∠CAB=30°易得△OBC為等邊三角形,可得∠AOC=120°,由F是 的中點,易得△AOF與△COF均為等邊三角形,可得AF=AO=OC=CF,易得以A,O,C,F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形.
【考點精析】掌握垂徑定理和切線的性質(zhì)定理是解答本題的根本,需要知道垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條;切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在△ABC中,BD、BE分別是高和角平分線,點F在CA的延長線上,F(xiàn)H⊥BE交BD于G,交BC于H,下列結(jié)論:①∠DBE=∠F;②2∠BEF=∠BAF+∠C;③∠F=(∠BAC﹣∠C);④∠BGH=∠ABE+∠C.

其中正確的是( 。

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④

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【題目】等腰三角形ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,已知點A(﹣6,0),點B在原點,CA=CB=5,把等腰三角形ABC沿x軸正半軸作無滑動順時針翻轉(zhuǎn),第一次翻轉(zhuǎn)到位置①,第二次翻轉(zhuǎn)到位置②…依此規(guī)律,第15次翻轉(zhuǎn)后點C的橫坐標(biāo)是

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【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,tan∠C= ,AB=6cm.動點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動,動點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動.若P,Q兩點分別從A,B兩點同時出發(fā),在運(yùn)動過程中,△PBQ的最大面積是( )

A.18cm2
B.12cm2
C.9cm2
D.3cm2

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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=AD=5,BC=4,M、N、E分別是AB、AD、CB上的點,AM=CE=1,AN=3,點P從點M出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿折線MB﹣BE向點E運(yùn)動,同時點Q從點N出發(fā),以相同的速度沿折線ND﹣DC﹣CE向點E運(yùn)動,當(dāng)其中一個點到達(dá)后,另一個點也停止運(yùn)動.設(shè)△APQ的面積為S,運(yùn)動時間為t秒,則S與t函數(shù)關(guān)系的大致圖象為( )

A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,AE=CD,AD、BE相交于點P,BQDAQ.

(1)求∠BPQ的度數(shù);

(2)PQ=3,EP=1,求AD的長.

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【題目】直角三角形ABC中,∠ACB=90°,直線l過點 C.

(1)當(dāng)AC=BC時,如圖1,分別過點ABAD⊥直線l于點D,BE⊥直線l于點 E.ACD與△CBE是否全等,并說明理由;

(2)當(dāng)AC=8cm,BC=6cm時,如圖2,點B與點F關(guān)于直線l對稱,連接BF、CF.點MAC上一點,點NCF上一點,分別過點M、NMD⊥直線l于點D,NE⊥直線l于點E,點MA點出發(fā),以每秒1cm的速度沿A→C路徑運(yùn)動,終點為 C.點N從點F出發(fā),以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路徑運(yùn)動,終點為F.點M、N同時開始運(yùn)動,各自達(dá)到相應(yīng)的終點時停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為t秒.

①當(dāng)△CMN為等腰直角三角形時,求t的值;

②當(dāng)△MDC與△CEN全等時,求t的值.

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【題目】圖(一)、圖(二)分別為甲、乙兩班學(xué)生參加投籃測驗的投進(jìn)球數(shù)直方圖.若甲、乙兩班學(xué)生的投進(jìn)球數(shù)的眾數(shù)分別為a、b;中位數(shù)分別為c、d,則下列關(guān)于a、b、c、d的大小關(guān)系,何者正確?( 。
A.a>b,c>d
B.a>b,c<d
C.a<b,c>d
D.a<b,c<d

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【題目】如圖,已知AB為半圓O的直徑,C為半圓O上一點,連接AC,BC,過點O作OD⊥AC于點D,過點A作半圓O的切線交OD的延長線于點E,連接BD并延長交AE于點F.

(1)求證:AEBC=ADAB;
(2)若半圓O的直徑為10,sin∠BAC= ,求AF的長.

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