Question

【題目】如果拋物線m的頂點在拋物線n上，同時拋物線n的頂點在拋物線m上，那么我們就稱拋物線m與n為交融拋物線．

（1）已知拋物線a：，判斷下列拋物線b：，c：與已知拋物線a是否為交融拋物線？并說明理由；

（2）在直線y=2上有一動點P（t，2），將拋物線a：繞點P（t，2）旋轉180得到拋物線l，若拋物線a與l為交融拋物線，求拋物線l的解析式；

（3）M為拋物線a：的頂點，Q為拋物線a的交融拋物線的頂點，是否存在以MQ為斜邊的等腰直角三角形MQS，使直角頂點S在y軸上？若存在，求出點S的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線與拋物線不是交融拋物線，拋物線與拋物線是交融拋物線，理由見解析；（2）所求拋物線的解析式為或；（3）存在符合條件的等腰直角三角形，點S的坐標為（0,0）或（0,3）．

【解析】

（1）求出拋物線a的頂點坐標，分別代入拋物線b與拋物線c，判斷即可；
（2）先確定拋物線a的頂點M的坐標，作點M關于點P的對稱點N，分別過點M、N作直線y=2的垂線，垂足為E、F，可求出N的縱坐標，代入求出N的橫坐標，分類討論即可；
（3）設點S（0，c），則點Q的坐標分兩類：①M，Q，S逆時針分布時；②M，Q，S順時針分布時，分別求解即可．

解：（1）∵拋物線的頂點坐標為，

當時，，

∴點不在拋物線上，

∴拋物線與拋物線不是交融拋物線；

∵當時，，

∴點在拋物線上，

∵拋物線的頂點，

當時，，

∴點在拋物線上，

∴拋物線與拋物線是交融拋物線．

（2）拋物線的頂點坐標為．

∵將拋物線a：繞點P（t，2）旋轉180得到拋物線l，拋物線a與l為交融拋物線，作頂點關于點的對稱點，則點N為拋物線l的頂點，

分別過點、作直線的垂線，垂足為、，則，

∴點的縱坐標為4，

當時，，解得，，

∴或，

當時，設拋物線的解析式為，

∵點在拋物線上，

∴，∴，

∴拋物線的解析式為；

當時，設拋物線的解析式為，

∵點在拋物線上，

∴，∴，

∴拋物線的解析式為，

∴所求拋物線的解析式為或．

（3）設點，則分以下兩種情況：

①當，，逆時針分布時（如圖中），

過點作軸于，則∠QDS=∠SOM=90°，SM=SQ，∠MSQ=90°，

∴∠OSM+∠DSQ=∠DQS+∠DSQ=90°，∠OSM=∠DQS，

∴（AAS），

∴，OM=DS，

∴，∴點，

∵點在拋物線上，∴，

解得或，

∴或；

②當，，順時針分布時（如圖中），

同理可得，

∵點在拋物線上，

∴，即，

∵，∴此方程無解，

綜上所述，存在符合條件的等腰直角三角形MQS，此時點S的坐標為（0,0）或（0,3）．