Question

【題目】已知正方形ABCD，點P是對角線AC所在直線上的動點，點E在DC邊所在直線上，且隨著點P的運動而運動，PE=PD總成立。

(1)如圖(1),當點P在對角線AC上時,請你通過測量、觀察,猜想PE與PB有怎樣的關系?(直接寫出結論不必證明)；

(2)如圖(2),當點P運動到CA的延長線上時,(1)中猜想的結論是否成立?如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；

(3)如圖(3),當點P運動到CA的反向延長線上時,請你利用圖(3)畫出滿足條件的圖形,并判斷此時PE與PB有怎樣的關系?(直接寫出結論不必證明)

Answer 1

【答案】（1）①PE=PB，②PE⊥PB；（2）成立，理由見解析（3）①PE=PB，②PE⊥PB.

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質和全等三角形的判定定理可證△PDC△PBC，推出PB=PD=PE，∠PDE=180°∠PBC=∠PED，求出∠PEC+∠PBC=180°，求出∠EPB的度數(shù)即可

（2）證明方法同（1），可得PE=PB，PE⊥PB

（3）證明方法同（1），可得PE=PB，PE⊥PB

(1)①PE=PB，②PE⊥PB.

(2)(1)中的結論成立。

①∵四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，

∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，

又PC=PC，

∴△PDC≌△PBC，

∴PD=PB，

∵PE=PD，

∴PE=PB，

②：由①,得△PDC≌△PBC，

∴∠PDC=∠PBC.

又∵PE=PD，

∴∠PDE=∠PED.

∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°，

∴∠EPB=360°(∠PEC+∠PBC+∠DCB)=90°，

∴PE⊥PB.

(3)如圖所示：

結論：①PE=PB，②PE⊥PB.