Question

如圖，在平面直角坐標系中，兩個全等的直角三角形的直角頂點及一條直角邊重合，點A在第二象限內，點B、點C在x軸的負半軸上，∠CAO=30°，OA=4．
（1）求點C的坐標；
（2）如圖，將△ACB繞點C按順時針方向旋轉30°到△A′CB′的位置，其中A’C交直線OA于點E，A’B’分別交直線OA、CA于點F、G，則除△A′B′C≌△AOC外，還有哪幾對全等的三角形，請直接寫出答案；（不再另外添加輔助線）
（3）在（2）的基礎上，將△A′CB′繞點C按順時針方向繼續(xù)旋轉，當△COE的面積為時，求直線CE的函數(shù)表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先在Rt△ACO中，根據(jù)∠CAO=30°解直角三角形可以得到OA，OC的長，然后就可以得到點C的坐標；
（2）根據(jù)已知條件容易得到△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC；
（3）過點E₁作E₁M⊥OC于點M，利用S_△COE1=4和∠E₁OM=60°可以求出點E₁的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定直線CE的解析式．此題有兩種情況，分別是E在第二或四象限里．
解答：解：（1）∵在Rt△ACO中，∠CAO=30°，OA=4，
∴OC=2，
∴C點的坐標為（-2，0）．

（2）△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC．

（3）如圖1，過點E₁作E₁M⊥OC于點M．
∵S_△COE1=CO•E₁M=，
∴E₁M=．
∵在Rt△E₁MO中，∠E₁OM=60°，則，
∴，
∴點E₁的坐標為（）．
設直線CE₁的函數(shù)表達式為y=k₁x+b₁，則
，
解得．
∴．
同理，如圖2所示，點E₂的坐標為（）．
設直線CE₂的函數(shù)表達式為y=k₂x+b₂，則，
解得．
∴．
點評：此題是開放性試題，把直角三角形、全等三角形，一次函數(shù)等知識綜合在一起，要求學生對這些知識比較熟練，利用幾何方法解決代數(shù)問題．