【題目】如圖1,AB是O的直徑,E是AB延長線上一點(diǎn),EC切O于點(diǎn)C,OPAO交AC于點(diǎn)P,交EC的延長線于點(diǎn)D.

(1)求證:PCD是等腰三角形;

(2)CGAB于H點(diǎn),交O于G點(diǎn),過B點(diǎn)作BFEC,交O于點(diǎn)F,交CG于Q點(diǎn),連接AF,如圖2,若sinE=,CQ=5,求AF的值.

【答案】(1)證明見解析;(2)12

【解析】

試題分析:(1)連接OC,由切線性質(zhì)和垂直性質(zhì)得1+3=90°、2+4=90°,繼而可得3=5得證;

(2)連接OC、BC,先根據(jù)切線性質(zhì)和平行線性質(zhì)及垂直性質(zhì)證BCG=QBC得QC=QB=5,而sinE=sinABF=,可知QH=3、BH=4,設(shè)圓的半徑為r,在RT在OCH中根據(jù)勾股定理可得r的值,在RTABF中根據(jù)三角函數(shù)可得答案.

試題解析:(1)連接OC,EC切O于點(diǎn)C,OCDE,∴∠1+3=90°,又OPOA,∴∠2+4=90°,OA=OC,∴∠1=2,∴∠3=4,又∵∠4=5,∴∠3=5,DP=DC,即PCD為等腰三角形;

(2)如圖2,連接OC、BCDE與O相切于點(diǎn)E,∴∠OCB+BCE=90°,OC=OB,∴∠OCB=OBC,∴∠OBC+BCE=90°,又CGAB,∴∠OBC+BCG=90°,∴∠BCE=BCG,BFDE,∴∠BCE=QBC,∴∠BCG=QBC,QC=QB=5,BFDE,∴∠ABF=E,sinE=sinABF=QH=3、BH=4,設(shè)O的半徑為r,OCH中,,解得:r=10,又∵∠AFB=90°,sinABF=,AF=12.

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