【題目】已知,AB是O的直徑,點(diǎn)P在弧AB上(不含點(diǎn)A、B),把AOP沿OP對(duì)折,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在O上.

(1)當(dāng)P、C都在AB上方時(shí)(如圖1),判斷PO與BC的位置關(guān)系(只回答結(jié)果);

(2)當(dāng)P在AB上方而C在AB下方時(shí)(如圖2),(1)中結(jié)論還成立嗎?證明你的結(jié)論;

(3)當(dāng)P、C都在AB上方時(shí)(如圖3),過C點(diǎn)作CD直線AP于D,且CD是O的切線,證明:AB=4PD.

【答案】解:(1)PO與BC的位置關(guān)系是POBC。

(2)(1)中的結(jié)論P(yáng)OBC成立。理由為:

由折疊可知:APO≌△CPO,∴∠APO=CPO。

OA=OP,∴∠A=APO。∴∠A=CPO。

∵∠A與PCB都為所對(duì)的圓周角,∴∠A=PCB。∴∠CPO=PCB。

POBC。

(3)證明:CD為圓O的切線,OCCD。

ADCD,OCAD。∴∠APO=COP。

由折疊可得:AOP=COP,∴∠APO=AOP。

OA=OP,∴∠A=APO。∴∠A=APO=AOP。∴△APO為等邊三角形。

∴∠AOP=60°。

OPBC,∴∠OBC=AOP=60°。

OC=OB,∴△BC為等邊三角形。∴∠COB=60°。

∴∠POC=180°﹣(AOP+COB)=60°。

OP=OC,∴△POC也為等邊三角形。∴∠PCO=60°,PC=OP=OC。

∵∠OCD=90°,∴∠PCD=30°。

在RtPCD中,PD=PC,

PC=OP=AB,PD=AB,即AB=4PD。

解析折疊的性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理,平行的判定和性質(zhì),切線的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),含30度角的直角三角形的性質(zhì)。

(1)由折疊可得,由AOP=POC ;因?yàn)?/span>AOC和ABC是弧所對(duì)的圓心角和圓周角,根據(jù)同弧所對(duì)圓周角是圓心角一半的性質(zhì),得AOP=ABC;根據(jù)同位角相等兩直線平行的判定,得PO與BC的位置關(guān)系是平行。

(2)(1)中的結(jié)論成立,理由為:由折疊可知三角形APO與三角形CPO全等,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出APO=CPO,再由OA=OP,利用等邊對(duì)等角得到A=APO,等量代換可得出A=CPO,又根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到A=PCB,再等量代換可得出COP=ACB,利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行,可得出PO與BC平行。

(3)由CD為圓O的切線,利用切線的性質(zhì)得到OCCD,又ADCD,利用平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線平行得到OCAD,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到APO=COP,再利用折疊的性質(zhì)得到AOP=COP,等量代換可得出APO=AOP,再由OA=OP,利用等邊對(duì)等角可得出一對(duì)角相等,等量代換可得出AOP三內(nèi)角相等,確定出AOP為等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的內(nèi)角為60°得到

AOP=60°,由OPBC,利用兩直線平行同位角相等可得出OBC=AOP=60°,再由OB=OC,得到OBC為等邊三角形,可得出COB為60°,利用平角的定義得到POC也為60°,再加上OP=OC,可得出POC為等邊三角形,得到內(nèi)角OCP=60°,可求出PCD=30°,在RtPCD中,利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得出PD為PC的一半,而PC=圓的半徑OP=直徑AB的一半,可得出PD為AB的四分之一,即AB=4PD,得證。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,AB是以O為圓心的半圓的直徑,半徑COAO,點(diǎn)M上的動(dòng)點(diǎn),且不與點(diǎn)A、C、B重合,直線AM交直線OC于點(diǎn)D,連結(jié)OMCM.

(1)若半圓的半徑為10.

①當(dāng)∠AOM=60°時(shí),求DM的長(zhǎng);

②當(dāng)AM=12時(shí),求DM的長(zhǎng).

(2)探究:在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中,∠DMC的大小是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.

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4ac<b2; 方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是 3a+c>0; 當(dāng)y>0時(shí),x的取值范圍是-1≤x<3 當(dāng)x<0時(shí),yx增大而增大;

其中結(jié)論正確有__________.

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