Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．

如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點A勻速移動．當(dāng)△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動、DE與AC相交于點Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？

（2）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時刻t，使面積y最�。咳舸嬖冢�求出y的最小值；若不存在，說明理由；

（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解答：

解：（1）∵點A在線段PQ的垂直平分線上， ∴AP=AQ； ∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°， ∴∠EQC=45°； ∴∠DEF=∠EQC； ∴CE=CQ； 由題意知：CE=t，BP=2t， ∴CQ=t； ∴AQ=8﹣t； 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm； 則AP=10﹣2t； ∴10﹣2t=8﹣t； 解得：t=2； 答：當(dāng)t=2s時，點A在線段PQ的垂直平分線上；（2）過P作PM⊥BE，交BE于M ∴∠BMP=90°； 在Rt△ABC和Rt△BPM中，， ∴； ∴PM=； ∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6﹣t； ∴y=S△ABC﹣S△BPE=﹣=﹣ ==； ∵， ∴拋物線開口向上； ∴當(dāng)t=3時，y最小=； 答：當(dāng)t=3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm2．（3）假設(shè)存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上； 過P作PN⊥AC，交AC于N ∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°； ∵∠PAN=∠BAC， ∴△PAN∽△BAC； ∴； ∴； ∴，； ∵NQ=AQ﹣AN， ∴NQ=8﹣t﹣（）= ∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一條直線上， ∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ； ∵∠FQC=∠PQN， ∴△QCF∽△QNP； ∴，∴； ∵0＜t＜4.5，∴； 解得：t=1； 答：當(dāng)t=1s，點P、Q、F三點在同一條直線上．