【題目】如圖,在平面直角坐標系中,為等邊三角形,點坐標為,點為軸上位于點上方的一個動點,以為邊向的右側(cè)作等邊,連接,并延長交軸于點.
(1)求證:;
(2)當點在運動時,是否平分?請說明理由;
(3)當點在運動時,在軸上是否存在點,使得為等腰三角形?若存在,請求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析(2)平分,理由見解析(3)存在,Q(0,3),(0,1).
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出OP=AP,BP=PC,∠APO=∠CPB=60°,求出∠OPB=∠APC,證出△PBO≌△PCA即可;
(2)由(1)知∠POB=∠PAC=60゜,得到∠PAC=∠OAP=60゜,即可得到平分;
(3)①當AQ=AE=2時,△AEQ為等腰三角形,點Q在y軸的正半軸上,求得OQ=AE+AO=3,②當AQ=AE=2時,△AEQ為等腰三角形,點Q在y軸的負半軸上,求得OQ=AQAO=1,③當EQ=AE=2時,△AEQ為等腰三角形,x軸是AQ的垂直平分線,求得OQ=AO=1,即可得到結(jié)論.
(1)證明:∵△BPC和△AOP是等邊三角形,
∴OP=AP,BP=PC,∠APO=∠CPB=60°,
∴∠APO+∠APB=∠BPC+∠APB,
即∠OPB=∠APC,
在△PBO和△PCA中,
,
∴△PBO≌△PCA (SAS)
∴OB=AC.
(2)平分,理由如下:
由(1)知∠POB=∠PAC=60゜,
∴∠PAC=∠OAP=60゜,
∴平分;
(3)解:存在,
∵AE=2AO=2,
∴①當AQ=AE=2時,△AEQ為等腰三角形,點Q在y軸的正半軸上,
∴OQ=AE+AO=3,
∴Q(0,3),
②當AQ=AE=2時,△AEQ為等腰三角形,點Q在y軸的負半軸上,
∴OQ=AQAO=1,
∴Q(0,1),
③當EQ=AE=2時,△AEQ為等腰三角形,x軸是AQ的垂直平分線,
∴OQ=AO=1,
∴Q(0,1).
綜上所述:在y軸上存在點Q,使得△AEQ為等腰三角形,Q(0,3),(0,1).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,點E落在AB上,DE所在直線交AC所在直線于點F.
(1)求證:AF+EF=DE;
(2)若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α,且0°<α<60°,其它條件不變,請在圖②中畫出變換后的圖形,并直接寫出你在(1)中猜想的結(jié)論是否仍然成立;
(3)若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角β,且60°<β<180°,其它條件不變,如圖③.你認為(1)中猜想的結(jié)論還成立嗎?若成立,寫出證明過程;若不成立,請寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商店將每件進價元的某種商品按每件元出售,一天可銷出約件,該店想通過降低售價,增加銷售量的辦法來提高利潤,經(jīng)過市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低元,其銷售量可增加約件.
將這種商品每件的售價降低多少時,能使商店的銷售利潤為元?
這種商品的售價降低多少時,才能使商店的銷售利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知排球場的長度OD為18 m,位于球場中線處球網(wǎng)的高度AB為2.4 m,一隊員站在點O處發(fā)球,排球從點O的正上方1.6 m的C點向正前方飛出,當排球運行至離點O的水平距離OE為6 m時,到達最高點G建立如圖所示的平面直角坐標系
(1) 當球上升的最大高度為3.4 m時,對方距離球網(wǎng)0.4 m的點F處有一隊員,他起跳后的最大高度為3.1 m,問這次她是否可以攔網(wǎng)成功?請通過計算說明
(2) 若隊員發(fā)球既要過球網(wǎng),又不出邊界,問排球飛行的最大高度h的取值范圍是多少?(排球壓線屬于沒出界)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點E是矩形ABCD邊AD上的一個動點,且與點A、點D不重合,連結(jié)BE、CE,過點B作BF∥CE,過點C作CF∥BE,交點為F點,連接AF、DF分別交BC于點G、H,則下列結(jié)論錯誤的是( 。
A. GH=BC B. S△BGF+S△CHF=S△BCF
C. S四邊形BFCE=ABAD D. 當點E為AD中點時,四邊形BECF為菱形
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm,點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動,同時,點Q在線段BD上由點B向點D運動,他們的運動時間為t(s).
(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,當t=1時,△ACP與△BPQ是否全等,請說明理由
(2)判斷此時線段PC和線段PQ的關(guān)系,并說明理由。
(3)如圖(2),將圖(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA=60°”,其他條件不變,設(shè)點Q的運動速度為x cm/s,是否存在實數(shù)x,使得△ACP與△BPQ全等?若存在,求出相應(yīng)的x、t的值;若不存在,請說明理由。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某班參加一次智力競賽,共a、b、c三題,每題或者得滿分或者得0分,其中題a滿分20分,題b、題c滿分均為25分.競賽結(jié)果,每個學生至少答對了一題,三題全答對的有1人,答對其中兩道題的有15人,答對題a的人數(shù)與答對題b的人數(shù)之和為29,答對題a的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為25,答對題b的人數(shù)與答對題c的人數(shù)之和為20,在這個班的平均成績是__分.
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