Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=﹣x+b（b為常數(shù)，b＞0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，半徑為5的圓⊙O與x軸正半軸相交于點(diǎn)C，與y軸相交于D、E兩點(diǎn)．

（1）若直線AB交劣弧 于P、Q兩點(diǎn)（異于C、D）
①當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）時(shí)，求b值；
②求∠CPE的度數(shù)，并用含b的代數(shù)式表示弦PQ的長（寫出b的取值范圍）；
（2）當(dāng)b=6時(shí)，線段AB上存在幾個(gè)點(diǎn)F，使∠CFE=45°？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵點(diǎn)P（3，4）在直線AB上，

∴﹣3+b=4，

∴b=7，②∵∠COE=90°，

∴∠CPE= ∠COE=45°，

如圖1，過點(diǎn)O作OM⊥AB于M，連接OP，

∵直線AB的解析式為y=﹣x+b①，

∴直線OM的解析式為y=x②，

聯(lián)立①②解得點(diǎn)M（ b， b），

∴OM2= b2，

在Rt△POM中，OP=5，根據(jù)勾股定理得，PM= = ，

∴PQ=2PM= ，

當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)D重合時(shí)，b=5

當(dāng)OM=5時(shí)，b=﹣5 （舍）或b=5 ，

∴5≤b＜5 ，

即：PQ= （5≤b＜5 ）

（2）

解：當(dāng)b=6時(shí)，線段AB上存在2個(gè)點(diǎn)F，使∠CFE=45°，

理由：由（1）②知，點(diǎn)F在劣弧 上時(shí)，∠CFE=45°，

由（1）②知，OM=5時(shí)，即：b=5 時(shí)，直線AB與⊙O相切，

當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，b=5，

∴當(dāng)b=6時(shí)，在5到5 之間，

∴線段AB與⊙Q有兩個(gè)交點(diǎn)，

即：當(dāng)b=6時(shí)，線段AB上存在2個(gè)點(diǎn)F，使∠CFE=45°．

【解析】（1）①直接將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線y=﹣x+b中，即可求出b的值，②先求出直線OM的解析式，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得出OM，再用勾股定理即可得出PM，即可得出PQ；（2）先判斷出點(diǎn)F是劣弧 上時(shí)，∠CFE=45°，進(jìn)而判斷b=6是線段AB與⊙O的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可得出結(jié)論．