Question

如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BC為⊙O的直徑，E為DC邊上一點，若AE∥BC，AE=EC=7，AD=6．
（1）求AB的長；
（2）求EG的長．

Answer 1

分析：（1）根據兩直線平行，內錯角相等，以及三角形中等邊對等角，用等量代換得到∠ACB=∠ACE，再用相等的圓周角所對的弧相等，所對的先相等求出AB的長．（2）根據等腰三角形的性質得到DE是△PBC的中位線，求出BC的長，再用勾股定理和相似三角形對應邊的比進行計算求出EG的長．

解答：解：（1）∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
又∵AE=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠ACB=∠ACE，
∴AB=AD=6．

（2）如圖：
延長BA，CD交于P，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE，
又∵BC是直徑，
∴∠BAC=90°，
∴AB=AP，PE=EC．
∴△GAE∽△GCB，且AE：BC=1：2．
∴BC=14．
在△ABC中，AC=

BC2-AB2

=

196-36

=4

10

．
AG=

1

3

AC=

4 10

3

．
BG=

AB2+AG2

=

36+ 160 9

=

22

3

．
EG=

1

2

BG=

11

3

．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，（1）根據平行線和圓周角的性質，得到AB=AD，求出AB的長．（2）先用等腰三角形的性質得到AB=AP，然后由AE∥BC，得到相似三角形，根據相似三角形的性質，利用勾股定理計算求出EG的長．