Question

【題目】如圖1，矩形的頂點、分別在軸與軸上，且點，點，點為矩形、兩邊上的一個點．

（1）當點與重合時，求直線的函數(shù)解析式；

（2）如圖②，當在邊上，將矩形沿著折疊，點對應點恰落在邊上，求此時點的坐標．

（3）是否存在使為等腰三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+2；（2）（，10）；（3）存在， P坐標為（6，6）或（6，2+2）或（6，10-2）．

【解析】

（1）設直線DP解析式為y=kx+b，將D與C坐標代入求出k與b的值，即可確定出解析式；
（2）當點B的對應點B′恰好落在AC邊上時，根據(jù)勾股定理列方程即可求出此時P坐標；
（3）存在，分別以BD，DP，BP為底邊三種情況考慮，利用勾股定理及圖形與坐標性質求出P坐標即可．

解：（1）∵C（6，10）,D（0，2），
設此時直線DP解析式為y=kx+b，
把D（0，2），C（6，10）分別代入，得
，
解得
則此時直線DP解析式為y=x+2；
（2）設P（m，10），則PB=PB′=m，如圖2，
∵OB′=OB=10，OA=6，
∴AB′==8，
∴B′C=10-8=2，
∵PC=6-m，
∴m2=22+（6-m）2，解得m=
則此時點P的坐標是（，10）；
（3）存在，理由為：

若△BDP為等腰三角形，分三種情況考慮：如圖3，
①當BD=BP1=OB-OD=10-2=8，
在Rt△BCP1中，BP1=8，BC=6，
根據(jù)勾股定理得：CP1=，
∴AP1=10-2，即P1（6，10-2）；
②當BP2=DP2時，此時P2（6，6）；
③當DB=DP3=8時，
在Rt△DEP3中，DE=6，
根據(jù)勾股定理得：P3E=，
∴AP3=AE+EP3=2+2，即P3（6，2+2），
綜上，滿足題意的P坐標為（6，6）或（6，2+2）或（6，10-2）．