【題目】如圖,拋物線與x軸交于Ax1,0)、Bx2,0)兩點(diǎn),且x1x2y軸交于點(diǎn)C0,4),其中x1,x2是方程x2﹣4x﹣12=0的兩個(gè)根.

1)求拋物線的解析式;

2)點(diǎn)M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)MMN∥BC,交AC于點(diǎn)N,連結(jié)CM,當(dāng)△CMN的面積最大時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);

3)點(diǎn)D4k)在(1)中拋物線上,點(diǎn)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)F,使以A、D、EF為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1)拋物線的解析式為y=x2x4;(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0);(3F16,0),F22,0),F382,0),F48+2,0).

【解析】試題分析:1)根據(jù)一元二次方程解法得出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),再利用交點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式;
2)首先判定MNA∽△BCA.得出,進(jìn)而得出函數(shù)的最值;
3)分別根據(jù)當(dāng)AF為平行四邊形的邊時(shí),AF平行且等于DE與當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),分析得出符合要求的答案.

試題解析:1x2﹣4x﹣12=0,

x1=﹣2x2=6

A﹣2,0),B6,0),

又∵拋物線過點(diǎn)AB、C,故設(shè)拋物線的解析式為y=ax+2)(x﹣6),

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入,求得a=,

∴拋物線的解析式為y=x2x﹣4

2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,0),過點(diǎn)NNHx軸于點(diǎn)H(如圖(1)).

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0),

AB=8,AM=m+2,

MNBC

∴△MNA∽△BCA

=,

=,

NH=,

SCMN=SACM﹣SAMN=AMCO﹣AMNH,

=m+2)(4﹣=﹣m2+m+3,

=﹣m﹣22+4

∴當(dāng)m=2時(shí),SCMN有最大值4

此時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0);

3∵點(diǎn)D4,k)在拋物線y=x2x﹣4上,

∴當(dāng)x=4時(shí),k=﹣4,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(4,﹣4).

①如圖(2),當(dāng)AF為平行四邊形的邊時(shí),AF平行且等于DE,

D4,﹣4),

DE=4

F1﹣6,0),F22,0),

②如圖(3),當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),設(shè)Fn,0),

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2,0),

則平行四邊形的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為:,

∴平行四邊形的對(duì)稱中心坐標(biāo)為(,0),

D4﹣4),

E'的橫坐標(biāo)為:﹣4+=n﹣6,

E'的縱坐標(biāo)為:4,

E'的坐標(biāo)為(n﹣64).

E'n﹣6,4)代入y=x2x﹣4,得n2﹣16n+36=0

解得n=8±2F38﹣2,0),F48+20),

綜上所述F1﹣6,0),F22,0),F38﹣2,0),F48+2,0).

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平均數(shù)

眾數(shù)

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因?yàn)?/span>,(已知

所以 .(等量代換)

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因?yàn)?/span> ,(已求)

所以 .(等量代換)

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