Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8），點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)為E′，若點(diǎn)E′落在y軸上（不與點(diǎn)C重合），請(qǐng)判斷以P，C，E，E′為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的條件下直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點(diǎn)C（0，8），B（6，0）代入在拋物線y=﹣ x2+bx+c得 ，解得 ，

所以拋物線的表達(dá)式為y=﹣ x2+ x+8

（2）

解：以P，C，E，E′為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．理由如下：

∵E點(diǎn)和E′點(diǎn)關(guān)于直線PC對(duì)稱，

∴∠E′CP=∠ECP，E′C=CE，E′P=EP，

又∵PD⊥x軸，

∴PE∥E′C，

∴∠EPC=∠E′CP，

∴∠EPC=∠ECP，

∴EP=EC，

∴EC=EP=PE′=E′C，

∴四邊形EPE′C為菱形

（3）

解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，

把B（6，0），C（0，8）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+8；

設(shè)P（x，﹣ x2+ x+8），則E（x，﹣ x+8），

∴PE=﹣ x2+ x+8﹣（﹣ x+8）=﹣ x2+4x，

過點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F，如圖，

在Rt△OBC中，BC= =10，

∵EF∥OB，

∴△CFE∽△COB，

∴ = ，即 = ，

∴CE= x，

∵EC=EP，

∴﹣ x2+4x= x，

整理得2x2﹣7x=0，解得x1=0（舍去），x2= ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ， ）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）利用對(duì)稱的性質(zhì)得∠E′CP=∠ECP，E′C=CE，E′P=EP，由PE∥E′C得∠EPC=∠E′CP，則∠EPC=∠ECP，于是可判斷EP=EC，所以EC=EP=PE′=E′C，則根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形EPE′C為菱形；（3）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=﹣ x+8，根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)P（x，﹣ x2+ x+8），則E（x，﹣ x+8），則可計(jì)算出PE=﹣ x2+ x+8﹣（﹣ x+8）=﹣ x2+4x，過點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F，如圖，證明△CFE∽△COB，利用相似比可計(jì)算出CE= x，則可利用EC=EP得到方程﹣ x2+4x= x，然后解方程求出x即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．