Question

【題目】從三角形一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，若分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)三角形為等腰三角形，另一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角與原來(lái)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別相等，則稱這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”．

例如，等腰直角三角形斜邊上的高就是這個(gè)等腰直角三角形的一條“等角分割線”．

(1)如圖1，在△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，若∠B=30°，∠BAD=∠C=40°，求證： AD為△ABC的“等角分割線”；

(2)如圖2，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°；

①畫(huà)出△ABC的“等角分割線”，寫(xiě)出畫(huà)法并說(shuō)明理由；

②若BC=3，求出①中畫(huà)出的“等角分割線”的長(zhǎng)度．

(3)在△ABC中，∠A=24°，若△ABC存在“等角分割線”CD，直接寫(xiě)出所有符合要求的∠B的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①見(jiàn)解析②2（3）44°， 52°， 54°， 108°

【解析】

⑴根據(jù)題目中的已知角的度數(shù)可以得到∠BAD=∠C=40°，∠ADB=∠BAC=110°

又∠B=∠B，得出△ABD的三個(gè)內(nèi)角與△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別相等；根據(jù)三角形的外角求出∠ADC=70°，∠BAD+∠CAD=110°得到∠CAD=70°得出△ADC是等腰三角形，所以AD為△ABC的“等角分割線”.

⑵①依據(jù)“等角分割線”定義畫(huà)出即可，②AD平分∠BAC， ∠ACD=30°，設(shè)CD=x，則AD=BD=2x，BC=BD+CD=2x+x=3，即可求出AD=2x=2

⑶分△ACD是等腰三角形DA=DC,DA=AC和△BCD是等腰三角形DB=BC,DC=BD四種情況，根據(jù)內(nèi)角和定理及三角形外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和計(jì)算即可.

(1)證明：∵∠B=30°，∠BAD=∠C=40°

∴∠ADB=∠BAC=110°

又∠B=∠B，

∴△ABD的三個(gè)內(nèi)角與△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別相等，

∵∠B=30°,∠BAD=40°，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°

又∵∠C=40°

∴∠DAC=70°=∠ADC

∴AC=CD

∴△ADC是等腰三角形，

∴AD為△ABC的“等角分割線”

(2)①畫(huà)法：如圖2，畫(huà)∠BAC的角平分線，交BC于點(diǎn)D，線段AD即為所求，

理由如下：

∵∠C=90°，∠B=30°

∴∠BAC=60°

∵AD平分∠BAC

∴∠DAC =∠BAD =30°=∠B

∴∠ADC=60°=∠BAC

又∵∠C=∠C=90°

∴△ADC的三個(gè)內(nèi)角與△ABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別相等，

∵∠BAD=∠B

∴AD=BD

∴△ABD是等腰三角形，

∴AD為△ABC△ABC的“等角分割線”

②設(shè)CD=x

∵△ADC中，∠C=90°，∠DAC=30°，

∴AD=2x，

∴BD=AD=2x

∵BC=3

∴x+2x=3

∴x=1

∴AD=2x=2；

(3) ①當(dāng)△BCD為等腰三角形，DB=BC時(shí)，如下圖

∵DB=BC，△ABC∽△ACD

∴ ∠2=∠3，∠1=∠B

∵∠2=∠A+∠1，∠2+∠3+∠B=180°

∴ 2(∠A+∠1)+∠B=180°

∴ 2(24°+∠B)+∠B=180°

∴ ∠B=44°

②當(dāng)△BCD是等腰三角形，DB=DC時(shí)，如下圖

∵DB=DC，△ABC∽△ACD

∴∠B=∠2,∠1=∠B

∵ ∠3=∠2+∠B，∠A+∠1+∠3=180°

∴ ∠A+∠1+∠3=24°+∠B+∠B+∠B=180°

∴ ∠B=52°

③當(dāng)△ACD為等腰三角形，DA=CA時(shí)，如下圖

∠2+∠3=180°-∠A=180°-24°=156°

∠2=∠3=78°

∵△ABC∽△CBD

∴∠A=∠4=24°

∵ ∠B+∠4=∠3

∴∠B=54°

當(dāng)△ACD為等腰三角形，DA=DC時(shí)，如下圖

∵ DA=DC

∴ ∠A=∠1=24°

∴ ∠2=∠A+∠1=48°

∵△ABC∽△CBD

∴ ∠B=∠2+∠3=∠2＋∠A=108°

44°， 52°， 54°， 108°．