Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為BC邊上的中點，CE⊥AD于點E，BF∥AC交CE的延長線于點F.

（1）求證:AC＝2BF

（2）連接DF，求證:AB垂直平分DF

（3）連接AF，試判斷△ACF的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）等腰三角形，理由見解析.

【解析】

（1）易證∠CDA=∠F，即可證明△ACD≌△CBF，可得CD=BF，易證AC=2CD，即可解題；

（2）連接DF交AB于G點，易證BD=BF，∠ABC=45°，根據(jù)△ACD≌△CBF，可求得∠ABF=45°，即可證明∴△DBG≌△FBG，可得DG=FG，∠DGB=∠FGB，即可求得∠DGB=∠FGB=90°，即可解題；

（3）由△CBF≌△ACD，得出CF=AD，由AB垂直平分DF，得出AF=AD，證得CF=AF，即可得出結(jié)論．

證明：（1）∵BF∥AC，且∠ACB＝90°

∴BC⊥BF，

又∵CF⊥AD

∴∠DCE+∠F=90°，∠DCE+∠CDA=90°，
∴∠CDA=∠F，

在△ACD和△CBF中， ，

∴△ACD≌△CBF（AAS），

∴CD=BF，

∵點D是BC的中點，

∴AC=BC=2CD，

∴AC=2BF；

（2）連接DF交AB于G點，

∵點D是BC的中點，

∴AC=2BD，

∵AC=2BF，

∴BD=BF，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°，

∵△ACD≌△CBF，

∴∠CBF=∠ACD=90°，

∴∠ABF=45°，

在△DBG和△FBG中，，

∴△DBG≌△FBG（SAS），

∴DG=FG，∠DGB=∠FGB，

∵∠DGB+∠FGB=180°，

∴∠DGB=∠FGB=90°，

∴AB垂直平分DF;

（3）連接AF

由（1）知：△CBF≌△ACD，

∴CF=AD，

由（2）知：AB垂直平分DF，

∴AF=AD，

∵CF=AD，

∴CF=AF，

∴△ACF是等腰三角形．