【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax+bx-3(a≠0)與x軸交于點
A(-2,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式;
(2)點P從A點出發(fā),在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動,同時點Q從B點出發(fā),在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動,其中一個點到達(dá)終點時,另一個也停止運動,當(dāng)△PBQ存在時,求運動多少秒使△PBQ的面積最大,最大面積是多少?
(3)當(dāng)△PBQ的面積最大時,在BC下方的拋物線上存在點M,使 =5:2,求M點坐標(biāo)。

【答案】
(1)

解:把點A(-2,0)、B(4,0)分別代入y=ax+bx-3(a≠0),得

解得 ,

所以該拋物線的解析式為:y= x- x-3.


(2)

解:設(shè)運動時間為t秒,則AP=3t,BQ=t.

∴PB=6-3t.

由題意得,點C的坐標(biāo)為(0,-3).

在Rt△BOC中,BC= =5

如下圖,過點Q作QH⊥AB于點H.

∴QH∥CO,

∴△BHQ∽△BOC,

,即 ,

∴HQ= t.

= PB HQ= (6-3t) t=- t+ t=- (t-1)+ .

當(dāng)△PBQ存在時,0<t<2

∴當(dāng)t=1時, =

答:運動1秒使△PBQ的面積最大,最大面積是 .


(3)

解:設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c(k≠0).

把B(4,0),C(0,-3)代入,得

解得 ,

∴直線BC的解析式為y= x-3.

∵點M在拋物線上.

∴設(shè)點M的坐標(biāo)為(m, m- m-3)

如下圖,過點M作ME∥y軸,交BC于點E.則點E的坐標(biāo)為(m, m-3).

∴EM= m-3-( m- m-3)=- m+ m.

當(dāng)△PBQ的面積最大時,∵S△CBM:S△PBQ=5:2,S△PBQ= .

∴S△CBM= .

S△CBM=S△CEM+S△BEM= EMm+ EM(4-m)

= ×4EM

=2×(- m+ m)

=- m+3m.

即:- m+3m= .

解得m1=1,m2=3.

∴M1(1,- ),M2(3,- ).


【解析】(1)把點A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式,列出關(guān)于系數(shù)a、b的解析式,通過解方程組求得它們的值;(2)設(shè)運動時間為t秒.利用三角形的面積公式列出S△PBQ與t的函數(shù)關(guān)系式S△PBQ=- (t-1)+ 。利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答;(3)利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y= x-3,由二次函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征可設(shè)點K的坐標(biāo)為(m, m- -3). 如圖,過點M作ME∥y軸,交BC于點E.結(jié)合已知條件和(2)中的結(jié)果求得S△CBK= .則根據(jù)圖形得到:S△CBK=S△CEK+S△BEK= EMm+ EK(4-m),把相關(guān)線段的長度代入推知:- m+3m= .易求得M1(1,- ),M2(3,- ).
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解二次函數(shù)的圖象(二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點),還要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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A.
B.5
C.6
D.

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