Question

（2012•廈門(mén)）已知平行四邊形ABCD，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE=PF．
（1）如圖，若PE=

3

，EO=1，求∠EPF的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，BF=BC+3

2

-4，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”證明△PEO和△PFO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠FPO=∠EPO，從而得解；
（2）根據(jù)三角形中位線定理可得PF∥AO，且PF=

1

2

AO，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位線，然后證明四邊形ABCD是正方形，根據(jù)正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)系列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）如圖，連接PO，∵PE⊥AC，PE=

3

，EO=1，
∴tan∠EPO=

EO

PE

=

3

3

，
∴∠EPO=30°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
在Rt△PEO和Rt△PFO中，

PO=PO PE=PF

，
∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），
∴∠FPO=∠EPO=30°，
∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；


（2）如圖，∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，
∴PF為△AOD中位線，
∴PF∥AO，且PF=

1

2

AO，
∵PF⊥BD，
∴∠PFD=90°，
∴∠AOD=∠PFD=90°，
又∵PE⊥AC，
∴∠AEP=90°，
∴∠AOD=∠AEP，
∴PE∥OD，
∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，
∴PE是△AOD的中位線，
∴PE=

1

2

OD，
∵PE=PF，
∴AO=OD，且AO⊥OD，
∴平行四邊形ABCD是正方形，
設(shè)BC=x，
則BF=

2

2

x+

1

2

×

2

2

x=

3 2

4

x，
∵BF=BC+3

2

-4=x+3

2

-4，
∴x+3

2

-4=

3 2

4

x，
解得x=4，
即BC=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，正方形的判定與性質(zhì)，（2）中判定出平行四邊形ABCD是正方形是解題的關(guān)鍵．