Question

（2012•響水縣一模）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在線段BC、CD上有動(dòng)點(diǎn)F、E，點(diǎn)F以每秒2cm的速度，在線段BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)E以每秒1cm的速度，在線段CD上從點(diǎn)C向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）設(shè)四邊形BFED的面積為y，求y 關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)自變量取值范圍；
（3）點(diǎn)F、E在運(yùn)動(dòng)過程中，如△CEF與△BDC相似，求線段BF的長(zhǎng)．
（4）以BF為半徑的圓B與以DE為半徑的圓D如果相切，直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，再利用cos∠ADB=cos∠CBD=

BD

BC

進(jìn)而求出AD的長(zhǎng)即可；
（2）首先用t表示出EH的長(zhǎng)以及FC的長(zhǎng)，進(jìn)而利用y=S_△BCD-S_△CEF得出函數(shù)關(guān)系即可；
（3）分別利用①如圖3，當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，②如圖4，當(dāng)∠CFE=90°時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)求出即可；
（4）分別利用當(dāng)兩圓相外切或內(nèi)切，利用外切時(shí)圓心距=r+R，內(nèi)切時(shí)圓心距=R-r，得出答案即可．

解答：解：（1）在Rt△BCD中，CD=6cm，BC=10cm，
所以BD=8cm．
因?yàn)锳D∥BC，所以∠ADB=∠CBD．
在Rt△BCD中，BD=8cm，cos∠ADB=cos∠CBD=

BD

BC

=

4

5

，
所以AD=BDcos∠ADB=8×

4

5

=

32

5

（cm）．
　　　　　
（2）如圖2，過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H．
在Rt△CEH中，CE=t，sin∠C=

4

5

，
所以EH=CE sin∠C=

4

5

t．
∵△BCD的面積為24，
∴S_△CEF=

1

2

CF•EH=

1

2

（10-2t）×

4

5

t=-

4

5

t²+4t，
所以y=S_△BCD-S_△CEF=24-（-

4

5

t²+4t）=

4

5

t²-4t+24（0＜t＜5）；

（3）①如圖3，當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，
∵BD⊥CD，
∴BD∥EF，
∴

CE

CF

=

CD

CB

=

3

5

．
∴

t

10-2t

=

3

5

．
解得t=

30

11

．
此時(shí)BF=2t=

60

11

（cm）．
②如圖4，當(dāng)∠CFE=90°時(shí)，
∵∠C=∠C，∠BDC=∠EFC，
∴△EFC∽△BDC，
∴

CF

CE

=

CD

CB

=

3

5

．
所以

10-2t

t

=

3

5

．
解得t=

50

13

．此時(shí)BF=2t=

100

13

（cm）．
　　　　　　　　
（4）如圖5，當(dāng)以BF為半徑的圓B與以DE為半徑的圓D相外切，
DE=DC-EC=6-t，BF=2t，
則BD=BF+DE=2t+6-t=8，
解得：t=2（秒）．
當(dāng)以BF為半徑的圓B與以DE為半徑的圓D相內(nèi)切，
DE=DC-EC=6-t，BF=2t，
則BD=BF-DE=2t-（6-t）=8，
解得：t=

14

3

（秒）．
故當(dāng)t的值為2秒與

14

3

秒時(shí)，以BF為半徑的圓B與以DE為半徑的圓D相切．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相且兩圓的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識(shí)，根據(jù)已知畫出圖象進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．