【題目】如圖1,四邊形ABCD是正方形,動點P從點A出發(fā),以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運動到D終止;動點Q從A出發(fā),以1cm/s的速度沿邊AD勻速運動到D終止,若P、Q兩點同時出發(fā),運動時間為ts,△APQ的面積為Scm2 . S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示.

(1)求圖2中線段FG所表示的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當動點P在邊AB運動的過程中,若以C、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形,求t的值;
(3)是否存在這樣的t,使PQ將正方形ABCD的面積恰好分成1:3的兩部分?若存在,求出這樣的t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:由題意,可知題圖2中點E表示點P運動至點B時的情形,

所用時間為2s,則正方形的邊長AB=2×2=4cm.

點Q運動至點D所需時間為:4÷1=4s,點P運動至終點D所需時間為12÷2=6s.

因此在FG段內(nèi),點Q運動至點D停止運動,點P在線段CD上繼續(xù)運動,且時間t的取值范圍為4≤t≤6.

故S= ×4×(12﹣2t)=﹣4t+24,

∴FG段的函數(shù)表達式為S=﹣4t+24(4≤t≤6).


(2)

解:①若CP=CQ,則DQ=PB,顯然不成立

②若PC=PQ,則(4﹣2t)2+42=5t2,解得 , (舍去)

③若QC=QP,則(4﹣t)2+42=5t2,解得t1=2,t2=﹣4(舍去)

綜上所述,當 或t=2時,以C、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形.


(3)

解:假設(shè)存在這樣的t,使PQ將正方形ABCD的面積恰好分成1:3的兩部分.

易得正方形ABCD的面積為16.

①當點P在AB上運動時,PQ將正方形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分,

如圖3所示,根據(jù)題意,得 ,解得t=2;

②當點P在BC上運動時,PQ將正方形ABCD分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分,如圖4所示.根據(jù)題意,得 (2t﹣4+t)×4= ×16,

解得t=

∴存在t=2和t= ,使PQ將正方形ABCD的面積恰好分成1:3的兩部分.


【解析】(1)函數(shù)圖象中線段FG,表示點Q運動至終點D之后停止運動,而點P在線段CD上繼續(xù)運動的情形.求出S的表達式,并確定t的取值范圍;(2)分CP=CQ、PC=PQ、QC=QP三種情況討論即可確定答案;(3)當點P在AB上運動時,PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分,求出t的值;
當點P在BC上運動時,PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分,求出t的值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的圖象的相關(guān)知識,掌握函數(shù)的圖像是由直角坐標系中的一系列點組成;圖像上每一點坐標(x,y)代表了函數(shù)的一對對應(yīng)值,他的橫坐標x表示自變量的某個值,縱坐標y表示與它對應(yīng)的函數(shù)值,以及對等腰三角形的性質(zhì)的理解,了解等腰三角形的兩個底角相等(簡稱:等邊對等角).

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B. (0,4)→(4,4)→(4,0)

C. (0,4)→(3,4)→(4,2)→(4,0)

D. (0,4)→(1,4)→(1,1)→(4,1)→(4,0)

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A.6
B.﹣6
C.9
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(1)寫出數(shù)軸上點B表示的數(shù)____,點P表示的數(shù)____(用含t的代數(shù)式表示);

(2)若動點Q從點B出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動,若點P、Q同時出發(fā),問點P運動多少秒時追上點Q?(列一元一次方程解應(yīng)用題)

(3)若動點Q從點B出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動,若點P、Q同時出發(fā),問 秒時P、Q之間的距離恰好等于2(直接寫出答案)

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