Question

【題目】如圖(1)，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過

A(-1，0)、B(0，3)兩點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

(1)求該拋物線的解析式及點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；

(2)經(jīng)過點(diǎn)B、D兩點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)E，若點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，以A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3)如圖(2)P(2，3)是拋物線上的點(diǎn)，Q是直線AP上方的拋物線上一動點(diǎn)，求△APQ的最大面積和此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

圖(1) 圖(2)

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為： ， ，D(1，4) ；

（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，3)；

（3）S△PQA的最大面積為，此時(shí)Q.

【解析】試題分析：(1)、將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，根據(jù)方程的思想求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將二次函數(shù)進(jìn)行配方，從而得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)、設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，將B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求出函數(shù)解析式，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出BF=AE=2，根據(jù)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)以及函數(shù)解析式得出點(diǎn)F的坐標(biāo)；(3)、設(shè)Q， 作PS⊥x軸，QR⊥x軸于點(diǎn)S、R，根據(jù)題意將AR、QR、PS、RS和AS用含m的代數(shù)式表示出來，根據(jù)S△PQA=S四邊形PSRQ+S△QRA-S△PSA得出關(guān)于m的函數(shù)解析式，將函數(shù)解析式進(jìn)行配方，從而得出最大值和點(diǎn)Q的坐標(biāo).

試題解析：(1)∵拋物線經(jīng)過A(-1，0)、B(0，3)兩點(diǎn)，

∴　 解得：

拋物線的解析式為：

∵由，解得： ∴

∵由 ∴D(1,4)

(2)∵四邊形AEBF是平行四邊形， ∴BF=AE． 設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，則
∵B(0，3)，D(1,4) ∴n=3 k+n=4 解得：k=1，n=3

∴直線BD的解析式為y=x+3 當(dāng)y=0時(shí)，x=-3 ∴E(-3，0)， ∴OE=3，

∵A(-1，0) ∴OA=1， ∴AE=2 ∴BF=2，

∴F的橫坐標(biāo)為2， ∴y=3， ∴F(2，3)；

(3)如圖，設(shè)Q， 作PS⊥x軸，QR⊥x軸于點(diǎn)S、R，且P(2，3)，

∴AR= ，QR=， PS=3，RS=2-m，AS=3

∴S△PQA=S四邊形PSRQ+S△QRA-S△PSA=

=

∴S△PQA=

∴當(dāng)時(shí)，S△PQA的最大面積為， 此時(shí)Q