【題目】如圖,E是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一動點(diǎn),點(diǎn)E從點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(與點(diǎn)B,D不重合),過點(diǎn)E作直線GH∥BC,交AB于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)H,EF⊥AE,交CD(或CD的延長線)于點(diǎn)F.
(1)如圖①,求證:△AGE≌△EHF.
(2)在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中(如圖①,②),四邊形AFHG的面積是否會發(fā)生變化?請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)四邊形AFHG的面積不會發(fā)生變化,都是;理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)四邊形ABCD是正方形,BD是對角線,且GH∥BC可證明AGHD是矩形,∠AGE=∠EHF=90°,AG=DH,△GBE是等腰直角三角形,可得DH=HE,即可證明AG=EH,利用EF⊥AE及直角三角形兩銳角互余的關(guān)系可得∠AEG=∠EFH,根據(jù)AAS即可證明△AGE≌△EHF;
(2)分兩種情況進(jìn)行討論:①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到BD的中點(diǎn)時,可得四邊形AFHG是矩形,可得S四邊形AFHG=;②當(dāng)點(diǎn)E不在BD的中點(diǎn)時,點(diǎn)E在運(yùn)動(與點(diǎn)B、D不重合)的過程中,四邊形AFHG是直角梯形,由(1)知,△AGE≌△EHF,圖②時,同(1)的證明方法可得△AGE≌△EHF,S四邊形AFHG=(FH+AG)GH=,然后即可得出結(jié)論.
(1)∵四邊形ABCD是正方形,GH∥BC,
∴AGHD是矩形,
∴∠AGE=∠EHF=90°,AG=DH,
∵BD是對角線,
∴∠HDE=45°,
∴△EHD是等腰直角三角形,
∴DH=HE,
∴AG=EH.
∵EF⊥AE,
∴∠AEG+∠FEH=90°.
∵∠EFH+∠FEH=90°,
∴∠AEG=∠EFH.
在△AGE和△EHF中,,
∴△AGE≌△EHF(AAS).
(2)四邊形AFHG的面積不會發(fā)生變化.
理由:①當(dāng)E運(yùn)動到BD的中點(diǎn)時,F與D重合,
∴四邊形AFHG是矩形,
∵E為BD中點(diǎn),GH//BC,
∴DH=CD=,
∴S四邊形AFHG=,
②當(dāng)E不在BD的中點(diǎn)時,在點(diǎn)E的運(yùn)動(與點(diǎn)B、D不重合)過程中,四邊形AFHG是直角梯形.
由(1)知圖①中△AGE≌△EHF,
如圖②,∵ABCD是正方形,GH//BC,
∴AGHD是矩形,
∴AG=HD,∠AGE=∠EHF=90°,
∵E在對角線BD上,
∴∠EDH=45°,
∴△EDH是等腰直角三角形,
∴EH=HD,
∴AG=EH,
∵EF⊥AE,
∴∠AEG+∠FEH=90°,
∵∠F+∠FEH=90°,
∴∠AEG=∠F,
在△AGE和△EHF中,,
∴△AGE≌△EHF(AAS).
∴FH=EG=BG,
∴FH+AG=BG+AG=AB=1.
∴S四邊形AFHG=(FH+AG)·GH=.
綜上所述,四邊形AFHG的面積不會發(fā)生變化,都是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校組織學(xué)生開展為貧困山區(qū)孩子捐書活動,要求捐贈的書籍類別為科普類、文學(xué)類、漫畫類、哲學(xué)故事類、環(huán)保類,學(xué)校圖書管理員對所捐贈的書籍隨機(jī)抽查了部分進(jìn)行統(tǒng)計,并對獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理,根據(jù)整理結(jié)果,繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.已知所統(tǒng)計的數(shù)據(jù)中,捐贈的哲學(xué)故事類書籍和文學(xué)類書籍的數(shù)量相同.請根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)本次被抽查的書籍有_____冊.
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.
(3)若此次捐贈的書籍共1200冊,請你估計所捐贈的科普類書籍有多少冊.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A′B′C,連接BB',若∠A′B′B=20°,則∠A的度數(shù)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的直徑AB的長為10,弦AC長為6,∠ACB的平分線交⊙O于D.
(1)求BC的長.
(2)連接AD和BD,判斷△ABD的形狀,說明理由.并求BD的長.
(3)求CD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:O上兩個定點(diǎn)A,B和兩個動點(diǎn)C,D,AC與BD交于點(diǎn)E.
(1)如圖1,求證:EAEC=EBED;
(2)如圖2,若AB=BC,AD是O的直徑,求證:ADAC=2BDBC;
(3) 如圖3,若AC⊥BD,點(diǎn)O到AD的距離為2,求BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)的圖象與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,且與反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)的圖象在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)C,作CD⊥x軸于,若OA=OD=OB=3.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)觀察圖象直接寫出不等式0<ax+b≤的解集.
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,書中記載:“今有中,不知大小.以鋸鋸之,深1寸,鋸道長1尺,問經(jīng)幾何?“其意思為:“如圖,今有一圓形木材在墻中,不知其大小用鋸子去鋸這個木材,鋸口深DE=1寸,鋸道長AB=10寸,問這塊圓形木材的直徑是多少?”
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某旅游風(fēng)景區(qū)出售一種紀(jì)念品,該紀(jì)念品的成本為元/個,這種紀(jì)念品的銷售價格為(元/個)與每天的銷售數(shù)量(個)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)銷售價格定為多少時,每天可以獲得最大利潤?并求出最大利潤.
(3)“十一”期間,游客數(shù)量大幅增加,若按八折促銷該紀(jì)念品,預(yù)計每天的銷售數(shù)量可增加,為獲得最大利潤,“十一”假期該紀(jì)念品打八折后售價為多少?
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【題目】小明同學(xué)在學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的角時了解到:在同圓或等圓中,同。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角相等.如圖,點(diǎn)A、B、C、D均為⊙O上的點(diǎn),則有∠C=∠D.
小明還發(fā)現(xiàn),若點(diǎn)E在⊙O外,且與點(diǎn)D在直線AB同側(cè),則有∠D >∠E. 請你參考小明得出的結(jié)論,解答下列問題:
(1)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,7),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0) .①在圖1中作出△ABC的外接圓(保留必要的作圖痕跡,不寫作法);
②若在軸的正半軸上有一點(diǎn)D,且∠ACB =∠ADB,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________;
(2) 如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,m),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,n),其中m>n>0.點(diǎn)P為軸正半軸上的一個動點(diǎn),當(dāng)∠APB達(dá)到最大時,直接寫出此時點(diǎn)P的坐標(biāo).
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