【題目】在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A(﹣3,0),B(1,0)兩點,與y軸交于點C.

(1)求這個二次函數(shù)的關(guān)系解析式;
(2)點P是直線AC上方的拋物線上一動點,是否存在點P,使△ACP的面積最大?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由;

(3)在平面直角坐標系中,是否存在點Q,使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由;
(4)點Q是直線AC上方的拋物線上一動點,過點Q作QE垂直于x軸,垂足為E.是否存在點Q,使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由;
(5)點M為拋物線上一動點,在x軸上是否存在點Q,使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)

解:由拋物線y=ax2+bx+2過點A(﹣3,0),B(1,0),則

解這個方程組,得a=﹣ ,b=﹣

∴二次函數(shù)的關(guān)系解析式為y=﹣ x2 x+2


(2)

解:設點P坐標為(m,n),則n=﹣ m2 m+2.

連接PO,作PM⊥x軸于M,PN⊥y軸于N.

PM=﹣ m2 m+2,PN=﹣m,AO=3.

當x=0時,y=﹣ ×0﹣ ×0+2=2,所以OC=2

SPAC=SPAO+SPCO﹣SACO

= AOPM+ COPN﹣ AOCO

= ×3(﹣ m2 m+2)+ ×2(﹣m)﹣ ×3×2

=﹣m2﹣3m

∵a=﹣1<0

∴函數(shù)SPAC=﹣m2﹣3m有最大值

當m=﹣ =﹣ 時,SPAC有最大值.

此時n=﹣ m2 m+2=﹣ =

∴存在點P(﹣ , ),使△PAC的面積最大


(3)

解:如圖(3)所示,

以BC為邊在兩側(cè)作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3,則點Q1,Q2,Q3,Q4為符合題意要求的點.

過Q1點作Q1D⊥y軸于點D,

∵∠BCQ1=90°,

∴∠Q1CD+∠OCB=90°,

又∵在直角△OBC中,∠OCB+∠CBO=90°,

∴∠Q1CD=∠OCB,

又∵Q1C=BC,∠Q1DC=∠BOC,

∴△Q1CD≌△CBO,

∴Q1D=OC=2,CD=OB=1,∴OD=OC+CD=3,∴Q1(2,3);

同理求得Q2(3,1),Q3(﹣1,﹣1),Q4(﹣2,1).

∴存在點Q,使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形.Q點坐標為:Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(﹣1,﹣1),Q4(﹣2,1)


(4)

解:如圖(4)所示,

設E(n,0),則BE=1﹣n,QE=﹣ n2 n+2.

假設以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似,則有兩種情況:

①若△AOC∽△BEQ,則有:

,化簡得:n2+n﹣2=0,

解得n1=﹣2,n2=1(與B重合,舍去),∴n=﹣2,QE=﹣ n2 n+2=2.

∴Q(﹣2,2);

②若△AOC∽△BQE,則有:

,化簡得:4n2﹣n﹣3=0,

解得n1=﹣ ,n2=1(與B重合,舍去),∴n=﹣ ,QE=﹣ n2 n+2=

∴Q(﹣ ).

綜上所述,存在點Q,使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似.

Q點坐標為(﹣2,2)或(﹣ ,


(5)

解:假設存在點Q,使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形.①若CM平行于x軸,如圖(5)a所示,

有符合要求的兩個點Q1,Q2,此時Q1A=Q2A=CM.

∵CM∥x軸,∴點M、點C(0,2)關(guān)于對稱軸x=﹣1對稱,

∴M(﹣2,2),∴CM=2.

由Q1A=Q2A=CM=2,得到Q1(﹣5,0),Q2(﹣1,0);

②若CM不平行于x軸,如圖(5)b所示.

過點M作MG⊥x軸于G,

易證△MGQ≌△COA,得QG=OA=3,MG=OC=2,即yM=﹣2.

設M(x,﹣2),則有﹣ x2 x+2=﹣2,解得x=﹣1±

又QG=3,∴xQ=xG+3=2± ,

∴Q3(2+ ,0),Q4(2﹣ ,0).

綜上所述,存在點Q,使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形.Q點坐標為:Q1(﹣5,0),Q2(﹣1,0),Q3(2+ ,0),Q4(2﹣ ,0).


【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)關(guān)鍵是求出△ACP面積的表達式,然后利用二次函數(shù)求極值的方法,求出△ACP面積的最大值;(3)如圖(3)所示,以BC為邊,在線段BC兩側(cè)分別作正方形,正方形的其他四個頂點均可以使得“△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形”,因此有四個點符合題意要求;(4)如圖(4)所示,若以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似,有兩種情況,需要分類討論,不要漏解;(5)以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形,有四種情況,分別如圖(5)a、圖(5)b所示,注意不要漏解.

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