Question

【題目】一個能被13整除的自然數(shù)我們稱為“十三數(shù)”，“十三數(shù)”的特征是：若把這個自然數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差，如果能被13整除，那么這個自然數(shù)就一定能被13整除．例如：判斷383357能不能被13整除，這個數(shù)的末三位數(shù)字是357，末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)是383，這兩個數(shù)的差是383﹣357=26，26能被13整除，因此383357是“十三數(shù)”．

（1）判斷3253和254514是否為“十三數(shù)”，請說明理由．

（2）若一個四位自然數(shù)，千位數(shù)字和十位數(shù)字相同，百位數(shù)字與個位數(shù)字相同，則稱這個四位數(shù)為“間同數(shù)”．

①求證：任意一個四位“間同數(shù)”能被101整除．

②若一個四位自然數(shù)既是“十三數(shù)”，又是“間同數(shù)”，求滿足條件的所有四位數(shù)的最大值與最小值之差．

Answer 1

【答案】（1）3253不是“十三數(shù)”，254514是“十三數(shù)”（2）①證明見解析②滿足條件的所有四位數(shù)的最大值與最小值之差為7878

【解析】

（1）根據(jù)題目中“十三數(shù)”的定義分析判斷即可；

（2）①先設(shè)出一個四位的“同間數(shù)”再判斷其除以101是否為整數(shù)即可證明；

②同①設(shè)出一個四位的“同間數(shù)”再根據(jù)“十三數(shù)”的定義分別求出最大值與最小值即可.

（1）解：3253不是“十三數(shù)”，254514是“十三數(shù)”，理由如下：

∵3﹣253=﹣250，不能被13整除，

∴3253不是“十三數(shù)”，

∵254﹣514=﹣260，﹣260÷13=﹣20

∴254514是“十三數(shù)”；（3分）

（2）①證明：設(shè)任意一個四位“間同數(shù)”為（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b為整數(shù)），

∵===10a+b，

∵a、b為整數(shù)，

∴10a+b是整數(shù)，

即任意一個四位“間同數(shù)”能被101整除；

②解：設(shè)任意一個四位“間同數(shù)”為（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b為整數(shù)），

∵=，（7分）

∵這個四位自然數(shù)是“十三數(shù)”，

∴101b+9a是13的倍數(shù)，

當(dāng)a=1，b=3時，101b+9a=303+9=312，312÷13=24，此時這個四位“間同數(shù)”為：1313；

當(dāng)a=2，b=6時，101b+9a=606+18=624，624÷13=48，此時這個四位“間同數(shù)”為：2626；

當(dāng)a=3，b=9時，101b+9a=909+27=736，936÷13=72，此時這個四位“間同數(shù)”為：3939；

當(dāng)a=5，b=2時，101b+9a=202+45=247，247÷13=19，此時這個四位“間同數(shù)”為：5252；

當(dāng)a=6，b=5時，101b+9a=505+54=559，559÷13=43，此時這個四位“間同數(shù)”為：6565；

當(dāng)a=7，b=8時，101b+9a=808+63=871，871÷13=67，此時這個四位“間同數(shù)”為：7878；

當(dāng)a=9，b=1時，101b+9a=101+81=182，182÷13=14，此時這個四位“間同數(shù)”為：9191；

綜上可知：這個四位“間同數(shù)”最大為9191，最小為1313，

9191﹣1313=7878，

則滿足條件的所有四位數(shù)的最大值與最小值之差為7878．