Question

如圖，⊙O經(jīng)過菱形ABCD的三個頂點A、C、D，且與AB相切于點A．

（1）求證：BC為⊙O的切線；

（2）求∠B的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）60°．

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)OA、OB、OC、BD，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得BA=BC，然后根據(jù)“SSS”可判斷△ABO≌△CBO，則∠BCO=∠BAO=90°，于是可根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論；

（2）由△ABO≌△CBO得∠AOB=∠COB，則∠AOB=∠COB，由于菱形的對角線平分對角，所以點O在BD上，利用三角形外角性質(zhì)有∠BOC=∠ODC+∠OCD，則∠BOC=2∠ODC，

由于CB=CD，則∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根據(jù)∠BOC+∠OBC=90°可計算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC計算即可．

解答：（1）證明：連結(jié)OA、OB、OC、BD，如圖，

∵AB與⊙O切于A點，∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，

∵四邊形ABCD為菱形，∴BA=BC，

在△ABO和△CBO中，

∵AB=CB，OA=OC，OB=OB，∴△ABO≌△CBO（SSS），∴∠BCO=∠BAO=90°，∴OC⊥BC，

∴BC為⊙O的切線；

（2）【解析】
∵△ABO≌△CBO，∴∠ABO=∠CBO，

∵四邊形ABCD為菱形，∴BD平分∠ABC，DA=DC，∴點O在BD上，

∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，而OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠BOC=2∠ODC，

而CB=CD，∴∠OBC=∠ODC，∴∠BOC=2∠OBC，

∵∠BOC+∠OBC=90°，∴∠OBC=30°，∴∠ABC=2∠OBC=60°．

考點：1．切線的判定與性質(zhì)；2．菱形的性質(zhì)．