Question

【題目】如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線EF∥BC分別交∠ACB、外角∠ACD的平分線于點(diǎn)E、F．

（1）若CE=8，CF=6，求OC的長(zhǎng)；
（2）連接AE、AF．問：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵EF交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F，

∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，

∵M(jìn)N∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，

∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，

∴OE=OC，OF=OC，

∴OE=OF；

∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，

∴∠ECF=90°，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF= =10，

∴OC=OE= EF=5

（2）

解：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．理由如下：

當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，

∵EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECF=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．

【解析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，證出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上才能正確解答此題．