【題目】如圖①,已知⊙O的半徑為1,PQ是⊙O的直徑,n個相同的正三角形沿PQ排成一列,所有正三角形都關(guān)于PQ對稱,其中第一個A1B1C1的頂點A1與點P重合,第二個A2B2C2的頂點A2B1C1PQ的交點……最后一個AnBnCn的頂點BnCn在圓上.

(1)如圖②,當(dāng)n1時,求正三角形的邊長a1.

(2)如圖③,當(dāng)n2時,求正三角形的邊長a2.

(3)如圖①,求正三角形的邊長an(用含n的代數(shù)式表示).

【答案】(1) a1.(2) a2 (3) an.

【解析】分析:(1)設(shè)PQ 交于點D,連接,得出OD= -O,用含的代數(shù)式表示OD,在OD中,根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長;(2)設(shè)PQ 交于點E,連接O,得出OE=E-O,用含的代數(shù)式表示OE,在OE中,根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長;(3)設(shè)PQ 交于點F,連接O,得出OF=F-O,用含an的代數(shù)式表示OF,在OF中,根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長an

本題解析:

(1)易知A1B1C1的高為,則邊長為,

a1.

(2)設(shè)A1B1C1的高為h,則A2O1h,連結(jié)B2O,設(shè)B2C2PQ交于點F,則有OF2h1.

B2O2OF2B2F21(2h1)2 .

ha2,1(a21)2a22,

解得a2 .

(3)(2),連結(jié)BnO,設(shè)BnCnPQ交于點F,則有BnO2OF2BnF2,

1(nh1)2 .

h an1an2 ,

解得an .

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(2)當(dāng)0<x<3時,求線段CD的最大值;

(3)在△PDB和△CDB中,當(dāng)其中一個三角形的面積是另一個三角形面積的2倍時,求相應(yīng)x的值;

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