Question

【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例.下面我們依次對(duì)展開式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)取正整數(shù)時(shí)可以單獨(dú)列成表中的形式：

例如，在三角形中第二行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開式中的系數(shù)，

(1)根據(jù)表中規(guī)律，寫出的展開式；

(2)多項(xiàng)式的展開式是一個(gè)幾次幾項(xiàng)式？并預(yù)測(cè)第三項(xiàng)的系數(shù)；

(3)請(qǐng)你猜想多項(xiàng)式取正整數(shù)）的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和（結(jié)果用含字母的代數(shù)式表示）；

(4)利用表中規(guī)律計(jì)算：（不用表中規(guī)律計(jì)算不給分）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）次項(xiàng)式，第三項(xiàng)的系數(shù)為：；（3）；（4）1.

【解析】

(1)可以根據(jù)題意寫出答案，

(2)分別用、、去探究它們之間的關(guān)系，找出規(guī)律即可，

(3)分別用、、先求出它們的系數(shù)和，找出規(guī)律即可，

(4)通過觀察可把正負(fù)號(hào)轉(zhuǎn)化為的偶次方和奇次方，然后把式子轉(zhuǎn)化為題中所給的形式即可得出答案.

解：根據(jù)題意可得：

（1）觀察表中信息可寫出：，

（2）當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的展開式是一次二項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的展開式是二次三項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的展開式是三次四項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為，

多項(xiàng)式的展開式是一個(gè)次項(xiàng)式，

第三項(xiàng)的系數(shù)為：；

（3）當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：，

當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：，

當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：，

多項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：

（4）

=

=

=1.