【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)O是AC邊上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線交∠ACB的角平分線于點(diǎn)E,交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F
(1)求證:EO=FO;
(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形CEAF是矩形?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
(3)在第(2)問(wèn)的結(jié)論下,若AE=3,EC=4,AB=12,BC=13,請(qǐng)直接寫(xiě)出凹四邊形ABCE的面積為 .
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形CEAF是矩形,理由詳見(jiàn)解析;(3)24.
【解析】
(1)由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠OEC=∠OCE,證出EO=CO,同理得出FO=CO,即可得出EO=FO;
(2)由對(duì)角線互相平分證明四邊形CEAF是平行四邊形,再由對(duì)角線相等即可得出結(jié)論;
(3)先根據(jù)勾股定理求出AC,得出△ACE的面積=AE×EC,再由勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形,得出△ABC的面積=ABAC,凹四邊形ABCE的面積=△ABC的面積﹣△ACE的面積,即可得出結(jié)果.
(1)證明:∵EF∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠OCE,
∴∠OEC=∠OCE,
∴EO=CO,
同理:FO=CO,
∴EO=FO;
(2)解:當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形CEAF是矩形;理由如下:
由(1)得:EO=FO,
又∵O是AC的中點(diǎn),
∴AO=CO,
∴四邊形CEAF是平行四邊形,
∵EO=FO=CO,
∴EO=FO=AO=CO,
∴EF=AC,
∴四邊形CEAF是矩形;
(3)解:由(2)得:四邊形CEAF是矩形,
∴∠AEC=90°,
∴AC===5,
△ACE的面積=AE×EC=×3×4=6,
∵122+52=132,
即AB2+AC2=BC2,
∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,
∴△ABC的面積=ABAC=×12×5=30,
∴凹四邊形ABCE的面積=△ABC的面積﹣△ACE的面積=30﹣6=24;
故答案為:24.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一項(xiàng)資助貧困生的公益活動(dòng)由你來(lái)主持,每位參與者需交贊助費(fèi)5元,活動(dòng)規(guī)則如下:如圖是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán),每個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被分成6個(gè)相等的扇形,參與者轉(zhuǎn)動(dòng)這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán),轉(zhuǎn)盤(pán)停止后,指針各自指向一個(gè)數(shù)字,(若指針在分格線上,則重轉(zhuǎn)一次,直到指針指向某一數(shù)字為止),若指針最后所指的數(shù)字之和為12,則獲得一等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金20元;數(shù)字之和為9,則獲得二等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金10元;數(shù)字之和為7,則獲得三等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金為5元;其余均不得獎(jiǎng);此次活動(dòng)所集到的贊助費(fèi)除支付獲獎(jiǎng)人員的獎(jiǎng)金外,其余全部用于資助貧困生的學(xué)習(xí)和生活;
(1)分別求出此次活動(dòng)中獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的概率;
(2)若此次活動(dòng)有2000人參加,活動(dòng)結(jié)束后至少有多少贊助費(fèi)用于資助貧困生?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是以O為圓心的半圓的直徑,半徑CO⊥AO,點(diǎn)M是上的動(dòng)點(diǎn),且不與點(diǎn)A、C、B重合,直線AM交直線OC于點(diǎn)D,連結(jié)OM與CM.
(1)若半圓的半徑為10.
①當(dāng)∠AOM=60°時(shí),求DM的長(zhǎng);
②當(dāng)AM=12時(shí),求DM的長(zhǎng).
(2)探究:在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,∠DMC的大小是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形紙片ABCD中,已知AD =8,折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC
重合,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,折痕為AE,且EF=3,則AB的長(zhǎng)為( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).
(1)在圖1中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)面積為10的正方形;
(2)在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)三角形,使三角形三邊長(zhǎng)分別為2、、;
(3)如圖3,點(diǎn)A、B、C是小正方形的頂點(diǎn),求∠ABC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有長(zhǎng)為 24m 的籬笆,現(xiàn)一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度 a 為 10m)圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃,設(shè)花圃的寬 AB 為 xm,面積為 Sm2.
(1) 求 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式及 x 值的取值范圍;
(2) 要圍成面積為 45m2 的花圃,AB 的長(zhǎng)是多少米?
(3) 當(dāng) AB 的長(zhǎng)是多少米時(shí),圍成的花圃的面積最大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),其中AB=4,∠AOC=120°,P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn),連AP,取AP中點(diǎn)Q,連CQ,則線段CQ的最大值為( 。
A. 3 B. 1+ C. 1+3 D. 1+
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段,連接.若,則四邊形的面積為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,D是BC邊上一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于F,且AF=CD,連接CF.
(1)求證:△AEF≌△DEB;
(2)若AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.
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