Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，一次函數(shù)y=

3

3

x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．
（1）已知OC⊥AB于C，求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=

3

3

x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，所以分別令x=0，y=0，可求得B、A的坐標(biāo)，從而求出OA=2

3

，OB=2，AB=4，因?yàn)镺C⊥AB于C，利用射影定理可得AO²=AC•AB，所以AC=

AO2

AB

=

(2 3 )2

4

=3，要求C點(diǎn)坐標(biāo)，需作CD⊥x軸于D，證明△ACD∽△ABO，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比即可得到

CD

BO

=

AD

AO

=

AC

AB

，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求出CD=

3

2

，AD=

3

2

3

，而OD=AO-AD=2

3

-

3

2

3

=

1

2

3

，從而求出C點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2

3

，

3

2

）；
（2）要在x軸上尋找點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形，需分情況討論：
若PB=AB=4，則P和A關(guān)于y軸對(duì)稱，所以有P1(2

3

，0）；
若PA=PB，設(shè)P（x，0），利用兩點(diǎn)間的距離公式可得（x+2

3

）²=x²+（0-2）²，解之可得P2(-

2

3

3

，0）；
因?yàn)锳（-2

3

，0），若PA=PB=4，則P3(4-2

3

，0），P4(-4-2

3

，0）．

解答：解：（1）y=

3

3

x+2，令x=0，
得y=2，令y=0，得x=-2

3

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)是（-2

3

，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），
∴OA=2

3

，OB=2，AB=4，
在△AOB中，∵∠AOB=90°，OC⊥AB于C，
∴AO²=AC•AB，
∴AC=

AO2

AB

=

(2 3 )2

4

=3，
作CD⊥x軸于D，則∠ADC=∠AOB=90°，又∠CAD=∠BAO，
∴△ACD∽△ABO，
∴

CD

BO

=

AD

AO

=

AC

AB

，
∴

CD

2

=

AD

2 3

=

3

4

，
∴CD=

3

2

，AD=

3

2

3

，
∴OD=AO-AD=2

3

-

3

2

3

=

1

2

3

，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2

3

，

3

2

）；

（2）存在滿足條件的點(diǎn)P，
P1(2

3

，0），P2(-

2

3

3

，0），P3(4-2

3

，0），P4(-4-2

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用相似三角形、分類討論來解決問題．