Question

【題目】如圖，已知長方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)．若點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動．

(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△AEP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時(shí)線段PE和線段PQ的位置關(guān)系；

(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，運(yùn)動時(shí)間為t秒，設(shè)△PEQ的面積為Scm2，請用t的代數(shù)式表示S；

(3)若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時(shí)，能夠使△AEP與△BPQ全等？

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）S=t+6；（3）

【解析】

（1）本題很容易證明△AEP≌△BPQ，這樣可得出∠AEP=∠BPQ，因?yàn)椤?/span>AEP+∠APE=90°，可得出∠BPQ+∠APE=90°，這即可判斷出結(jié)論．
（2）可分別用t表示出AP、BQ、BP、CQ的長度，然后用矩形的面積減去△APE、△BPQ及梯形EDCQ的面積即可得出△PEQ的面積為Scm2．
（3）設(shè)Q運(yùn)動的速度為xcm/s，則根據(jù)△AEP與△BQP得出AP=BP、AE=BQ或AP=BQ，AE=BP，從而可列出方程組，解出即可得出答案．

(1)∵長方形ABCD，

∴∠A=∠B=90°，

∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AD=6cm，

∴AE=3cm，

又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm，BP=3，

∴AE=BP，

在△AEP和△BQP中，

∴△AEP≌△BPQ，

∴∠AEP=∠BPQ，

又∵∠AEP+∠APE=90°，

故可得出∠BPQ+∠APE=90°,即∠EPQ=90°，

即EP⊥PQ.

(2)連接QE,由題意得：AP=BQ=t,BP=4t,CQ=6t,

SPEQ=SABCDSBPQSEDCQSAPE

=AD×ABAE×APBP×BQ (DE+CQ)×CD

=24×3tt(4t) ×4(3+6t)

=t+6，

(3)設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為xcm/s，

①經(jīng)過y秒后,△AEP≌△BQP，則AP=BP，AE=BQ，

∴，

解得：，

即點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為cm/s時(shí)能使兩三角形全等.

②經(jīng)過y秒后,△AEP≌△BPQ，則AP=BQ，AE=BP，

∴

解得： (舍去).

綜上所述,點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為cm/s時(shí)能使兩三角形全等.