Question

如圖，AB是⊙O的直徑，M是⊙O上一點(diǎn)，MN⊥AB，垂足為N，P、Q分別是、上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．若∠MNP=∠MNQ，下面結(jié)論：
①∠PNA=∠QNB；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN；④PM=QM；⑤MN²=PN•QN．
正確的結(jié)論有（ ）

A．2個(gè)
B．3個(gè)
C．4個(gè)
D．5個(gè)

Answer 1

【答案】分析：利用等角的余角相等得到①對(duì)．利用垂徑定理，同弧所對(duì)的圓周角相等得②對(duì)．利用三角形內(nèi)角和定理得③錯(cuò)．利用三角形相似得④錯(cuò)，⑤對(duì)．
解答：解：延長(zhǎng)QN交圓O于C，延長(zhǎng)MN交圓O于D，如圖：
∵M(jìn)N⊥AB，
∴∠MNA=∠MNB=90°，
∵∠MNP=∠MNQ，
∴∠PNA=∠QNB，故①對(duì)；
∵∠P+∠PMN＜180°，
∴∠P+∠Q＜180°，故②錯(cuò)；
因?yàn)锳B是⊙O的直徑，MN⊥AB，=，
∵∠PNA=∠QNB，∠ANC=∠QNB，
∴∠PNA=∠ANC，
∴P，C關(guān)于AB對(duì)稱，
∴=，
∴=，
∴∠Q=∠PMN，故③對(duì)；
∵∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，
∴△PMN∽△MQN，
∴MN²=PN•QN，PM不一定等于MQ，
所以④錯(cuò)誤，⑤對(duì)．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．