Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AC=40，點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于點E．點M在線段AP上，點N在線段BP上，且PM=PN，tan∠EMP=3．
（1）如圖，當點E與點C重合時，求MP的長；
（2）設AP=x，△ENB的面積為y，求y與x的函數關系式，并求出當x取何值時，y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求出AB的值，然后又三角形的面積公式建立等量關系求出EP的值，最后在Rt△CMP中由題目條件通過解直角三角形就可以求出MP的值．
（2）分E在AC上和在BC上時兩種情況進行考慮，先利用三角形相似求出EP的值，再通過解直角三角形求出MP的值，最后根據三角形的面積公式就可以表示出y與x之間的函數關系式．根據自變量的取值范圍和化為頂點式就可以求出其最大值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AC=40，
∴AB=

BC2+AC2

=

302+402

=50．  
由面積公式可得  AB•CP=BC•AC．
∴CP=

BC•AC

AB

=

30×40

50

=24． 
∵PC⊥AB，tan∠CMP=3，
∴MP=

CP

tan∠CMP

=8． 
（2）分兩種情況考慮：
①當點E在線段AC上時，如圖②，
在Rt△AEP和Rt△ABC中，
∵∠APE=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△APE∽△ACB．
∴

EP

BC

=

AP

AC

，即 

EP

30

=

x

40

，
∴EP=

3

4

x．
∵tan∠EMP=3，
∴MP=

EP

tan∠EMP

=

1

4

x=PN．
∴BN=AB-AP-PN=50-x-

1

4

x=50-

5

4

x．
∴y=

1

2

BN•EP=

1

2

(50-

5

4

x)•

3

4

x=-

15

32

x2+

75

4

x．
當點E與點C重合時，AP=

402-242

=32．
∴自變量x的取值范圍是：0＜x＜32． 
②當點E在線段BC上時，如圖③，
在Rt△BPE和Rt△BCA中，
∵∠BPE=∠BCA=90°，∠B=∠B，
∴△BPE∽△BCA．
∴

EP

AC

=

BP

BC

，即 

EP

40

=

50-x

30

，
∴EP=

4

3

(50-x)．
∵tan∠EMP=3，
∴MP=

EP

tan∠EMP

=

4

9

(50-x)=PN．
∴BN=AB-AP-PN=50-x-

4

9

(50-x)=

5

9

(50-x)．
∴y=

1

2

BN•EP=

1

2

×

5

9

(50-x)×

4

3

(50-x)=

10

27

(50-x)2．
y與x的函數關系式為y=

- 15 32 x2+ 75 4 x(0＜x＜32) 10 27 (50-x)2(32≤x＜50)

當點E在線段AC上時，y=-

15

32

x2+

75

4

x=-

15

32

(x-20)2+

375

2

，
此時，當x=20時，y有最大值為

375

2

．
而當點E在線段BC上時，y的最大值為點E與點C重合時，顯然沒有

375

2

大．
∴當x=20時，y有最大值，最大值為

375

2

．

點評：本題考查了勾股定理的運用，相似三角形的判定與性質，二次函數的最值，三角形的面積，銳角三角形函數的定義的運用．