Question

（2011•泉州質(zhì)檢）如圖，AB=AC=10cm，BC=12cm，BF∥AC，點(diǎn)P、Q均以1cm/s的速度同時(shí)分別從C、A出發(fā)沿CA，AB的方向運(yùn)動(dòng)（當(dāng)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P、Q均停止運(yùn)動(dòng)），過點(diǎn)P作PE∥BC，分別交AB、BF于點(diǎn)G、E，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．
（1）直接判斷并填寫：
經(jīng)過t秒，線段AP=

10-t

cm（用含t的代數(shù)式表示），線段QE

=

QP（用“＞、＜、=、≥、≤”符號(hào)表示）；
（2）四邊形EBPA的面積會(huì)變化嗎？請(qǐng)說明理由：
（3）①當(dāng)0＜t＜5時(shí)，求出四邊形EBPA的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
②試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EBPQ是梯形．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳C=10cm，點(diǎn)P以以1cm/s的速度從A出發(fā)，從而可得出代數(shù)式，線段QE和QP相等．
（2）四邊形EBPA的面積不會(huì)變化，可求出四邊形的面積．
（3）根據(jù)三角形全等和勾股定理，以及三角形的面積表示出四邊形的面積求出解以及根據(jù)梯形的概念判斷出梯形．

解答：解：（1）PA的長度為：10-t，
QE=PQ．

（2）四邊形EBPA的面積不會(huì)變化．
∵BF∥AC，
∴BF與AC的距離處處相等．
設(shè)EF與AC的距離為h，
又∵PE∥BC，
∴四邊形EBCP是平行四邊形．
∴EB=PC=t，AP=10-t，
∴S_{四邊形EBPA}=

1

2

（EB+AP）h=

1

2

（t+10-t）•h=5h；

（3）①AQ=t，則BQ=10-t，
又∵AP=10-t，EB=t，
∴EB=AQ，BQ=AP，
又∵BF∥AC，
∴∠EBA=∠QAP，
∴△EBQ≌△QAP，
在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，作AH⊥BC于H，
則CH=

1

2

BC=

1

2

×12=6，
AH=

AC2-CH2

=

102-62

=8，
作BM⊥AC于點(diǎn)M，
∵S_△ABC=

1

2

•BC•AH=

1

2

•AC•BM，
∴12×8=10•BM
BM=

48

5

，
∴S_△ABP=

1

2

（10-t）×

48

5

，
即S=48-

24

5

t．

②∵BF∥AC，∴BE不平行于PQ，
∴當(dāng)EQ∥BP時(shí)，四邊形EBPQ是梯形．
∴∠GEQ=∠GPB，∠EQB=∠GBP，
∴△EGQ∽△PGB，
∴

EG

GP

=

GQ

GB

，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
又∵PG∥BC，且PG≠BC，
∴四邊形GBCP是等腰梯形，
∴GB=PC=t，
∴GQ=10-2t，
同理可證△AGP∽△EGB，
∴

EB

PA

=

EG

GP

∴

EB

PA

=

QG

GB

，
∴

t

10-t

=

10-2t

t

，
化簡得：t²-30t+100=0，
解得：t₁=15+5

5

（舍去），t₂=15-5

5

，
當(dāng)t=15-5

5

是，四邊形EBPQ是梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，梯形的概念等知識(shí)點(diǎn)．