以Rt△AOB的直角邊OA、OB為y軸,x軸建立直角坐標(biāo)系,AO=b,BO=a,(a>b),Q是邊OB上的動點,點Q不與B、O重合,點P是AB的中點.
(1)請寫出A、B的坐標(biāo);
(2)若以點O、P、Q為頂點的三角形與△ABO相似,這時的Q點能有幾個,請說明理由并分別求出相應(yīng)的Q點、P點的坐標(biāo).
分析:(1)根據(jù)OA、OB的值直接寫出A、B的坐標(biāo)即可;
(2)求出OP=PA=PB,推出∠ABO=∠POB,求出AB,有2種情況:①∠PQO=90°,②∠QPO=90°,根據(jù)相似三角形的判定推出即可,根據(jù)P為AB中點,求出P的坐標(biāo)即可,根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出比例式,代入即可求出圖2中Q的坐標(biāo).
解答:解:(1)A的坐標(biāo)是(0,b),B的坐標(biāo)是(a,0).

(2)∵∠AOB=90°,P為AB中點,
∴AP=OP=PB,
∴∠POB=∠ABO.
如圖Q點有2個,
圖1中,PQ⊥OB,
則∠OQP=∠AOB=90°,
∵∠POB=∠ABO,
∴以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,
∵PQ∥OA,
PQ
OA
=
PB
AB
=
BQ
OB
=
1
2
,
∴PQ=
1
2
b,BQ=0Q=
1
2
a,
即P(
1
2
a,
1
2
b),Q(
1
2
a,0);
圖2中,∠QPO=90°=∠AOB,
∵∠POB=∠ABO,
∴以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,
在△AOB中,由勾股定理得:AB=
a2+b2
,OP=
1
2
a2+b2
,
OQ
AB
=
OP
OB
,
OQ
a2+b2
=
1
2
a2+b2
a

∴OQ=
a2+b2
2a
,
即P(
1
2
a,
1
2
b),Q(
a2+b2
2a
,0).
點評:本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理,直角三角形斜邊上中線性質(zhì),等腰三角形性質(zhì)等知識點的應(yīng)用,主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進行推理的能力.本題綜合性比較強,是一道具有代表性的題目.
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kx
(x>0)也恰好經(jīng)過點A.
(1)求k的值;
(2)如圖2,過O點作OD⊥AC于D點,求CD2-AD2的值;
(3)如圖3,點P為x軸上一動點.在(1)中的雙曲線上是否存在一點Q,使得△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形.若存在,求出點P、點Q的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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