Question

已知拋物線y=x²+2（k+1）x-k與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)分別在直線x=1的兩側(cè)，則k的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)二次函數(shù)y=x²+2（k+1）x-k的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)可以得到其判別式是正數(shù)，由此得到關(guān)于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范圍，再根據(jù)兩個(gè)交點(diǎn)分別在直線x=1的兩側(cè)求出k的取值范圍然后再取k的公共部分．
解答：解：∵拋物線y=x²+2（k+1）x-k與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b²-4ac=[2（k+1）]²-4×1×（-k）=4（k²+3k+1）＞0，
解得：k＞或k＜，
∵兩個(gè)交點(diǎn)分別在直線x=1的兩側(cè)，
∴可設(shè)x₁＜1，x₂＞1，
即x₁-1＜0，x₂-1＞0，
∴（x₁-1）•（x₂-1）＜0，
即（x₁x₂）-（x₁+x₂）+1＜0，
由解析式y(tǒng)=x²+2（k+1）x-k可得x₁x₂=-k，x₁+x₂=-2（k+1），
∴（x₁x₂）-（x₁+x₂）+1=k+3＜0，
解得k＜-3；
所以k的取值范圍是k＜-3．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與其判別式的關(guān)系，也考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，其中解題時(shí)利用不等式的巧妙變形，可以快速解不等式，這也是解不等式經(jīng)常采用的方法．