Question

【題目】已知：如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結AD．

（1）求證：∠DAC=∠DBA；

（2）求證：PD=PF；

（3）連接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半徑和DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）半徑為2.5；DE=2.4；

【解析】

(1)、利用角平分線的性質得出∠CBD=∠DBA，進而得出∠DAC=∠DBA，再利用互余的性質得出∠DAC=∠ADE，進而得出∠DAC=∠DBA；(2)、利用圓周角定理得出∠ADB=90°，進而求出∠PDF=∠PFD，則PD=PF；(3)、利用勾股定理得出AB的長，再利用三角形面積求出DE即可．

(1)、證明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，

∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AB，∴∠ADB=∠AED=90°，

∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠ADE，∴∠DAC=∠DBA；

(2)、證明：∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，

∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC =90°，又∵∠ADE =∠DAP，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF，

(3)、連接CD，∵∠CBD=∠DBA，∴CD=AD，∵CD﹦3，∴AD=3，∵∠ADB=90°，∴AB=5，

故⊙O的半徑為2.5，∵DE×AB=AD×BD，∴5DE=3×4，∴DE=2.4． 即DE的長為2.4．