Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸)，與y軸交于點(diǎn)C． 拋物線的對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線段DE上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與DE兩端點(diǎn)重合)，連接PC、PO．

(1) 求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；

(2) 求∠DAO的度數(shù)和△PCO的面積；

(3) 在圖1中，連接PA，點(diǎn)Q 是PA 的中點(diǎn)．過點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F，連接QE、QF、EF得到圖2．試探究: 是否存在點(diǎn)P，使得 ，若存在，請(qǐng)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）45°；；（3）存在，

【解析】

（1）把C點(diǎn)坐標(biāo)代入解出解析式，再根據(jù)對(duì)稱軸即可解出．

（2）把A、D、E、C點(diǎn)坐標(biāo)求出后，因?yàn)?/span>AE=DE，且DE⊥AE，所以∠DAO=，P點(diǎn)y軸的距離等于OE，即可算出△POC的面積．

（3）設(shè)出PE=m，根據(jù)勾股定理用m表示出PA，根據(jù)直角三角形斜邊中線是斜邊的一半可以證明AQ=FQ=QE=QP，所以△AQF和△AQE都是等腰三角形，又因?yàn)?/span>∠DAO=，再根據(jù)角的關(guān)系可以證明△FEQ是等腰直角三角形，再根據(jù)，解出m即可．可以通過圓的性質(zhì)，來判斷△FEQ是等腰直角三角形，再根據(jù)建立等式算出m即可．

解: (1) 將C代入求得a=，

∴拋物線的解析式為；

由可求拋物線的對(duì)稱軸為直線

(2) 由拋物線可求一些點(diǎn)的坐標(biāo):

∴ AE=DE=3，又DE⊥AE

∴△ADE是等腰直角三角形 ∴∠DAO=45°

作PM⊥y軸于M，在對(duì)稱軸上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1，∴PM=1，又OP=

∴△OPC的面積為

(3)解:存在點(diǎn)滿足題目條件．

解法一: 設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m（0<m<3），則PE=m，

∵點(diǎn)Q是PA的中點(diǎn)，∴QE、QF分別是Rt△PAE、Rt△PAF的公共斜邊PA上的中線

∴QE=QF=AQ=PQ=

∵QE=AQ，QF=AQ ∴∠EAQ=∠AEQ，∠FAQ=∠AFQ

∴∠EQP=2∠EAQ，∠FQP=2∠FAQ

∴∠EQF=2（∠EAQ + ∠FAQ ) =2∠DAO=90°

又∴QE=QF ∴△EFQ是等腰直角三角形

∴△EFQ的面積為

由得解得

∵0<m<3 ∴∴在拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為

解法二: 設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m（0<m<3），則PE=m，

∵點(diǎn)Q是PA的中點(diǎn)，∴QE、QF分別是Rt△PAE、Rt△PAF的公共斜邊PA上的中線

∴QE=QF=AQ=PQ=

∴四邊形PEAF內(nèi)接于半徑為QE的⊙Q，

∴∠EQF=2∠DAO=90°

又∴QE=QF ∴△EFQ是等腰直角三角形

∴△EFQ的面積為

由得解得

∵0<m<3 ∴∴在拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為