【題目】“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個著名的問題,但僅用尺規(guī)不可能“三等分角”.下面是數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法(如圖):將給定的銳角∠AOB置于直角坐標系中,邊OBx軸上、邊OA與函數(shù)的圖象交于點P,以P為圓心、以2OP為半徑作弧交圖象于點R.分別過點PRx軸和y軸的平行線,兩直線相交于點M,連接OM得到∠MOB,則∠MOB=∠AOB.要明白帕普斯的方法,請研究以下問題:

(1)設(shè)P(,)、R(,),求直線OM對應(yīng)的函數(shù)表達式(用含,的代數(shù)式表示);

(2)分別過點PRy軸和x軸的平行線,兩直線相交于點Q.請說明Q點在直線OM上,并據(jù)此證明∠MOB=∠AOB;

(3)應(yīng)用上述方法得到的結(jié)論,你如何三等分一個鈍角(用文字簡要說明)

【答案】(1). y=x;(2).證明見解析;(3).見解析.

【解析】

(1)根據(jù)點P、點R的坐標得出點M的坐標,設(shè)出直線OM的解析式,將點M的坐標代入直線解析式求出未知參數(shù)即可;(2)不難證明四邊形PQRM為矩形,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出∠PSQ=2PMS,PR=2PS,由已知條件PR=2PO可得PS=PO,即∠PSO=POS,所以∠POS=2PMS,由PMx軸可得∠PMS=MOB,所以∠POS=2MOB,即可證明∠MOB=AOB;(3)方法一:利用鈍角的一半是銳角,將利用上述結(jié)論將銳角三等分即可;方法二:鈍角減去一個直角得一個銳角,利用上述結(jié)論將銳角三等分后,再將直角三等分即可.

(1)設(shè)直線OM的解析式為y=kx,

Pa),Rb,),

Mb,),

k=

y=x;

(2)證明:由題意得Qa,),

x=a時,y=,

∴點Q在直線OM上,

由題意可得∠PMB=MRQ=RQP=90°,

∴四邊形PQRM是矩形,

PR=2PS,SP=SM,

∴∠SPM=SMP,

∴∠PSO=2SMP,

PMx軸,

∴∠SMP=MOB,

∴∠PSO=2MOB,

PR=2PO

PS=PO,

∴∠PSO=POS,

∴∠POS=2MOB,

∴∠MOB=AOB

(3)方法一利用鈍角的一半是銳角,將利用上述結(jié)論將銳角三等分即可;

方法二:鈍角減去一個直角得一個銳角,利用上述結(jié)論將銳角三等分后,再將直角三等分即可.

練習冊系列答案
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