Question

【題目】如圖，四邊形內接于，對角線為的直徑，過點作AC的垂線交AD的延長線于點E，點F為CE的中點，連接DB，DC，DF．

（1）求證：DF是的切線；

（2）若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）tan∠ABD=2．

【解析】

（1）如圖，連接OD，由AC是直徑可得∠ADC=90°，利用直角三角形的性質結合等腰三角形的性質得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，進而得出答案；

（2）由直角三角形兩銳角互余的關系可得∠DAC=∠DCE，可證明△DAC∽△DCE，利用相似三角形的性質結合勾股定理表示出AD，DC的長，再利用圓周角定理得出tan∠ABD的值即可得答案．

（1）如圖，連接OD，

∵AC是⊙O直徑，

∴∠ADC=90°，

∵點F為CE中點，

∴DF=CF，

∴∠FDC=∠DCF，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∵CE⊥AC，

∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，

∴DF是⊙O的切線．

（2）∵∠OCD+∠DCF=∠DAC+∠OCD=90°，

∴∠DCF=∠DAC，

∵∠ADC=∠CDE=90°，

∴△DAC∽△DCE，

∴，即CD2=AD·DE，

∵，

∴AC2=20DE2，

∵AC2=CD2+AD2，

∴AD2+AD·DE=20DE2，

∴（AD+5DE）（AD-4DE）=0，

解得：AD=4DE或AD=-5DE（舍去），

∴CD===2DE，

∵∠ABD=∠ACD，

∴tan∠ABD=tan∠ACD===2．