Question

【題目】如圖，AD是△ABC外角∠EAC的平分線，AD與△ABC的外接圓⊙O交于點(diǎn)D．

（1）求證：DB＝DC；

（2）若∠CAB＝30°，BC＝4，求劣弧的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理得到∠DCB=∠DBC，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明；

（2）根據(jù)圓周角定理得到∠COB=2∠CAB=60°，∠CDB=∠CAB=30°，得到△COB為等邊三角形，求出OC，∠COD，根據(jù)弧長公式計算．

（1）證明：∵AD平分∠EAC，

∴∠EAD=∠CAD，

∵A，D，C，B四點(diǎn)共圓，

∴∠EAD=∠DCB，

由圓周角定理得，∠CAD=∠CBD，

∴∠DCB=∠DBC，

∴DB=DC；

（2）如圖，連接OB、OC、OD，

由圓周角定理得，∠COB=2∠CAB=60°，∠CDB=∠CAB=30°，

∴△COB為等邊三角形，

∴OC=BC=4，

∵DC=DB，∠CDB=30°，

∴∠DCB=75°，

∴∠DCO=15°，

∴∠COD=150°，

則劣弧的長=．