Question

（2012•北京二模）已知：如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（8，0）、B（0，6），點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，AB=AC．動(dòng)點(diǎn)M在x軸上從點(diǎn)C向點(diǎn)A移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，且移動(dòng)的速度都為每秒1個(gè)單位，移動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜10）．
（1）設(shè)△AMN的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系解析式；
（2）求四邊形MNBC的面積最小是多少？
（3）求時(shí)間t為何值時(shí)，△AMN是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）過N作NF⊥AC于F，求出OA=8，OB=6，AB=10，AC=10，根據(jù)sin∠BAC=

OB

AB

=

NF

AN

求出NF=

3

5

t，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（2）根據(jù)y=-

3

10

t²+3t=-

3

10

（t-5）²+

15

2

，求出△AMN的面積的最大值，根據(jù)三角形ABC的面積即可求出答案；
（3）AN=t，CM=t，AM=10-t，分為三種情況：①當(dāng)AM=AN時(shí)，10-t=t，②當(dāng)AM=MN時(shí)，作ME⊥AB于E，求出AE=

4

5

（10-t），且AE=

1

2

AN，得出方程

4

5

（10-t）=

1

2

t，求出方程的解即可；③當(dāng)AN=MN時(shí)，過N作NF⊥AC于F，cos∠BAC=

AF

AN

=

AO

AB

求出AF=

4

5

t，且AM=2AF，得出方程10-t=

8

5

t，求出方程的解即可．

解答：解：（1）如圖1，過N作NF⊥AC于F，
∵A（8，0）、B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
由勾股定理得：AB=10，
∵AB=AC，
∴AC=10，
sin∠BAC=

OB

AB

=

NF

AN

，
∴

6

10

=

NF

t

，
∴NF=

3

5

t，
∴y=

1

2

×AM×NF=

1

2

•（10-t）•

3

5

t，
y=-

3

10

t²+3t；

（2）∵y=-

3

10

t²+3t=-

3

10

（t-5）²+

15

2

，
∴△AMN的面積的最大值是

15

2

平方單位，
∴四邊形MNBC的面積的最小值是S_△ABC-

15

2

=

1

2

×10×6-

15

2

=

45

2

平方單位；

（3）根據(jù)已知得：AN=t，CM=t，AM=10-t，
分為三種情況：①當(dāng)AM=AN時(shí)，10-t=t，
t=5；
②當(dāng)AM=MN時(shí)，如圖2，
作ME⊥AB于E，
cos∠BAC=

AE

AM

=

AO

AB

，
∴

AE

10-t

=

8

10

，
AE=

4

5

（10-t），且AE=

1

2

AN，
∴

4

5

（10-t）=

1

2

t，
t=

80

13

；

③當(dāng)AN=MN時(shí)，如圖3，
過N作NF⊥AC于F，
cos∠BAC=

AF

AN

=

AO

AB

，
∴

AF

t

=

8

10

，
∴AF=

4

5

t，且AM=2AF，
∴10-t=

8

5

t，
t=

50

13

，
即時(shí)間t為5秒或

80

13

秒或

50

13

秒時(shí)，△AMN是等腰三角形．

點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形，三角形面積，二次函數(shù)的最值，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)盡計(jì)算的能力，用了分類討論思想．